Piecewise defined functions

Wichtige abschnittsweise definierte Funktionen

Stetigkeit von abschnittsweise definierten Funktionen

Bei abschnittsweise definierten Funktionen spielt die Untersuchung der Stetigkeit eine wesentliche Rolle.

Eine Funktion $ff$ heißt stetig in $x_{0}x\_0$, wenn $f(x_0)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)f(x\_0)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; x\_0^+\}f(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; x\_0^-\}f(x)$. Sprich, wenn der linksseitige Grenzwert an einer Stelle, gleich dem rechtsseitigen Grenzwert und gleich dem Funktionswert ist.

Diese Stetigkeitseigenschaft zu beweisen, fällt den meisten sehr schwer. Als Faustregel kann man sagen:

Auf den Intervallen, auf denen sie definiert ist, ist sie stetig und kann dort wie eine stetige Funktion behandelt werden. Das heißt, beim Skizzieren des Graphen kann sie auf diesen Abschnitten durchgehend gezeichnet werden, von Randpunkt zu Randpunkt. Nur diese sind bei der Untersuchung der Stetigkeit der springende Punkt.

Beispiele

Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ist stetig. Beide Funktionsterme $xx$ und $-x-x$ sind stetig in $\mathbb{R}\setminus \{0\}\backslash mathbb\; R\; \backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$. In der Schnittstelle $x=0x=0$ läuft sowohl der erste Funktionsterme von rechts gegen die $00$, als auch der zweite Funktionsterm von links gegen die $00$. Also ist die Betragsfunktion auf ganz $\mathbb{R}\backslash mathbb\; R$ stetig.

Faustregel: Du kannst den Graphen ohne absetzen zeichnen. Also ist die Funktion stetig.

Signumfunktion

Die Signumfunktion ist nicht stetig in $00$. Der erste Funktionsterm nähert sich von links an die $-1-1$ ran, von rechts an die $11$ und die Funktion ist im Nullpunkt als $00$ definiert.

Faustregel: Da du deinen Stift im Nullpunkt $22$ mal absetzen musst, egal, wie du den Graphen zeichnest, ist die Signumfunktion nicht stetig.