Exercises: Intersecting parabolas with parabolas or other lines

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzen und alles auf eine Seite bringen.

$f(x)=g(x)$

$\frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{11,9}x+\mathrm{6,7}=\mathrm{11,75}x+\mathrm{10,48}$ $|-\mathrm{11,75}x$

$\frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{0,15}x+\mathrm{6,7}=\mathrm{10,48}$ $|-\mathrm{10,48}$

$\frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{0,15}x-\mathrm{3,78}=0$

Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\mathrm{0,15}\pm \sqrt{{\mathrm{0,15}}^2-4\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot (-\mathrm{3,78})}}{2\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}}=\frac{-\mathrm{0,15}\pm \mathrm{1,95}}{\mathrm{0,5}}}$$

Somit ergeben sich die zwei x-Koordinaten: $x_1=\mathrm{3,6}$ und $x_2=-\mathrm{4,2}$

Diese Werte muss man nun noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.

$\begin{array}{l}{x}_1:\end{array}$

$g(\mathrm{3,6})=\mathrm{11,75}\cdot \mathrm{3,6}+\mathrm{10,48}=\mathrm{52,78}$

$=>S_1(\mathrm{3,6}/\mathrm{52,78})$

$\begin{array}{l}{x}_2:\end{array}$

$g(-\mathrm{4,2})=\mathrm{11,75}\cdot (-\mathrm{4,2})+\mathrm{10,48}=-\mathrm{38,87}$

$=>S_2(-\mathrm{4,2}/-\mathrm{38,87})$

Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen: $S_1(\mathrm{3,6}|\mathrm{52,78})$ und $S_2(-\mathrm{4,2}|-\mathrm{38,87})$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen.

$t(x)=h(x)$

$x^2+3x+14=-\mathrm{2,5}x+8$ $|+\mathrm{2,5}x$

$x^2+\mathrm{5,5}x+14=8$ $|-8$

$x^2+\mathrm{5,5}x+6=0$

Nun haben wir soweit aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\mathrm{5,5}\pm \sqrt{{\mathrm{5,5}}^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}=\frac{-\mathrm{5,5}\pm \mathrm{2,5}}{2}}$$

Somit ergeben sich zwei x-Koordinaten: $x_1=-\mathrm{1,5}$ und $x_2=-4$

Diese Werte muss man nur noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.

$x_1:$

$h(-\mathrm{1,5})=-\mathrm{2,5}\cdot (-\mathrm{1,5})+8=\mathrm{11,75}$

$=>S_1(-\mathrm{1,5}|\mathrm{11,75})$

$x_2:$

$h(-4)=-\mathrm{2,5}\cdot (-4)+8=18$

$=>S_2(-4|18)$

Somit hat man die Schnittpunkte der beiden Funktionen: $S_1(-\mathrm{1,5}|\mathrm{11,75})$ und $S_2(-4|18)$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:

$\begin{array}{cccc}e\left(x\right)& =& h\left(x\right)& \\ \frac{1}{4}{x}^2+2x-\mathrm{4,36}& =& \mathrm{1,2}x+4& |-\mathrm{1,2}x\\ \frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{0,8}x-\mathrm{4,36}& =& 4& |-4\\ \frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{0,8}x-\mathrm{8,36}& =& 0& \end{array}$

Jetzt lassen sich die Nullstellen mit der Mitternachtsformel bestimmen.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\mathrm{0,8}\pm \sqrt{{\mathrm{0,8}}^2-4\cdot \frac{1}{4}\cdot (-\mathrm{8,36})}}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{-\mathrm{0,8}\pm 3}{\frac{1}{2}}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow x_1=\mathrm{4,4};x_2=-\mathrm{7,6}}$$

Einsetzen dieser zwei $x$-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen$y$-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:

$\begin{array}{cccl}\mathrm{h}\left(\mathrm{4,4}\right)& =& \mathrm{9,28}& \Rightarrow \mathrm{A}\left(\mathrm{4,4}|\mathrm{9,28}\right)\\ \mathrm{h}(-\mathrm{7,6})& =& -\mathrm{5,24}& \Rightarrow \mathrm{B}(-\mathrm{7,6}|-\mathrm{5,24})\end{array}$

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:

$\begin{array}{cccc}m\left(x\right)& =& n\left(x\right)& \\ \frac{9}{4}{x}^2-\mathrm{6,25}x-\mathrm{9,2}& =& -\mathrm{1,3}x-2& |+2\\ \frac{9}{4}{x}^2-\mathrm{6,25}x-\mathrm{7,2}& =& -\mathrm{1,3}x& |+\mathrm{1,3}x\\ \frac{9}{4}{x}^2-\mathrm{4,95}x-\mathrm{7,2}& =& 0& \end{array}$

Jetzt lassen sich die Nullstellen mit der Mitternachtsformel bestimmen.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{\mathrm{4,95}\pm \sqrt{(-\mathrm{4,95}{)}^2-4\cdot \frac{9}{4}\cdot (-\mathrm{7,2})}}{2\cdot \frac{9}{4}}=\frac{\mathrm{4,95}\pm \mathrm{9,45}}{\frac{9}{2}}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow x_1=\mathrm{3,2};x_2=-1}$$

Einsetzen dieser zwei $x$-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen$y$-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:

$\begin{array}{cccl}\mathrm{n}\left(\mathrm{3,2}\right)& =& -\mathrm{6,16}& \Rightarrow \mathrm{A}(\mathrm{3,2}|-\mathrm{6,16})\\ \mathrm{n}(-1)& =& -\mathrm{0,7}& \Rightarrow \mathrm{B}(-1|-\mathrm{0,7})\end{array}$