Exercises: Intersecting parabolas with parabolas or other lines

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen.

$f(x)=g(x)$

$\frac{1}{2}{x}^2+2x-10=-\frac{1}{2}{x}^2+5$ $|+\frac{1}{2}{x}^2$

$x^2+2x-10=5$ $|-5$

$x^2+2x-15=0$

Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man jetzt die Mitternachtsformel anwenden.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-15)}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm 8}{2}}$$

Somit ergeben sich die beiden x-Koordinaten: $x_1=-5$ und $x_2=3$

Diese Werte muss man nur noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.

$x_1$ :

$g(-5)=-\frac{1}{2}\cdot (-5{)}^2+5=-\mathrm{7,5}$

$=>S_1=(-5|-\mathrm{7,5})$

$x_2$ :

$g(3)=-\frac{1}{2}\cdot 3^2+5=\mathrm{0,5}$

$=>S_2=(3|\mathrm{0,5})$

Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen $S_1(-5|-\mathrm{7,5})$ und $S_2(3|\mathrm{0,5})$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die y-Werte gleich setzen und alles auf eine Seite bringen.

$e(x)=l(x)$

$2x^2-4x+\mathrm{1,9}=x^2+\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ $|-x^2$

$x^2-4x+\mathrm{1,9}=\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ $|-\mathrm{0,1}x$

$x^2-\mathrm{4,1}x+\mathrm{1,9}=-\mathrm{0,2}$ $|+\mathrm{0,2}$

$x^2-\mathrm{4,1}x+\mathrm{2,1}=0$

Nun haben wir so aufgelöst, dass auf der einen Seite nur noch die Null steht. Jetzt kann man die Mitternachtsformel anwenden.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-(-\mathrm{4,1})\pm \sqrt{(-\mathrm{4,1}{)}^2-4\cdot 1\cdot \mathrm{2,1}}}{2\cdot 1}=\frac{\mathrm{4,1}\pm \mathrm{2,9}}{2}}$$

Somit ergeben sich die zwei $x$-Koordinaten:$x_1=\mathrm{3,5}$ und $x_2=\mathrm{0,6}$

Diese Werte muss man nun noch in eine der beiden Ausgangsfunktionen einsetzen.

$x_1$ :

$l(\mathrm{3,5})={\mathrm{3,5}}^2+\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{3,5}-\mathrm{0,2}=\mathrm{12,4}$

$=>S_1(\mathrm{3,5}|\mathrm{12,4})$

$x_2$ :

$l(\mathrm{0,6})={\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,6}-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,22}$

$=>S_2(\mathrm{0,6}|\mathrm{0,22})$

Somit hat man die beiden Schnittpunkte der Funktionen $S_1(\mathrm{3,5}|\mathrm{12,4})$ und $S_2(\mathrm{0,6}|\mathrm{0,22})$.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:

$\begin{array}{cccc}r\left(x\right)& =& s\left(x\right)& \\ \frac{3}{4}{x}^2+2x-10& =& \frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{1,5}x-4& |+4\\ \frac{3}{4}{x}^2+2x-6& =& \frac{1}{4}{x}^2+\mathrm{1,5}x& |-\mathrm{1,5}x\\ \frac{3}{4}{x}^2+\mathrm{0,5}x-6& =& \frac{1}{4}{x}^2& |-\frac{1}{4}{x}^2\\ \frac{2}{4}{x}^2+\mathrm{0,5}x-6& =& 0& \end{array}$

Nun suchst du die Nullstellen der neuen Funktion $\frac{2}{4}{x}^2+\mathrm{0,5}x-6$.Da es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt, kann man die Nullstellen durch die Mitternachtsformel berechnen.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\mathrm{0,5}\pm \sqrt{{\mathrm{0,5}}^2-4\cdot \frac{2}{4}\cdot (-6)}}{2\cdot \frac{2}{4}}=\frac{-\mathrm{0,5}\pm \mathrm{3,5}}{1}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow x_1=3;x_2=-4}$$

Einsetzen dieser zwei $x$-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen$y$-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:

$\begin{array}{cccl}\mathrm{s}\left(3\right)& =& \mathrm{2,75}& \Rightarrow \mathrm{A}\left(3|\mathrm{2,75}\right)\\ \mathrm{s}(-4)& =& -6& \Rightarrow \mathrm{B}(-4|-6)\end{array}$

Um die Schnittpunkte zu berechnen, musst du zuerst die $y$-Werte gleich setzten und alles auf eine Seite bringen:

$\begin{array}{cccc}t\left(x\right)& =& u\left(x\right)& \\ \frac{10}{9}{x}^2-\frac{4}{3}x-11& =& x^2-2x-8& |+8\\ \frac{10}{9}{x}^2-\frac{4}{3}x-3& =& x^2-2x& |+2x\\ \frac{10}{9}{x}^2+\frac{2}{3}x-3& =& x^2& |-x^2\\ \frac{1}{9}{x}^2+\frac{2}{3}x-3& =& 0& \end{array}$

Nun suchst du die Nullstellen der neuen Funktion $\frac{1}{9}{x}^2+\frac{2}{3}x-3$.Da es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt, kann man die Nullstellen durch die Mitternachtsformel berechnen.

$${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\frac{2}{3}\pm \sqrt{{\frac{2}{3}}^2-4\cdot \frac{1}{9}\cdot (-3)}}{2\cdot \frac{1}{9}}=\frac{-\frac{2}{3}\pm \frac{4}{3}}{\frac{2}{9}}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow x_1=3;x_2=-9}$$

Einsetzen dieser zwei $x$-Werte in eine der Funktionen liefert die zugehörigen$y$-Werte und damit die Schnittpunkte A und B:

$\begin{array}{cccl}u\left(3\right)& =& -5& \Rightarrow \mathrm{A}(3|-5)\\ u(-9)& =& 91& \Rightarrow \mathrm{B}(-9|91)\end{array}$