Exercises: Power- and root functions

x-Werte zwischen 0 und 1

Die $x$-Werte liegen im Bereich: $0<x<1$

Wenn man zwei gleiche Zahlen, die zwischen $0$ und $1$ liegen, miteinander multipliziert, ist das Ergebnis kleiner als der Wert der zwei gleichen Zahlen. Wenn man das Produkt der zwei Zahlen wieder ein oder mehrmals mit dem gleichen Wert wie dem der anfänglichen zwei Zahlen multipliziert, nimmt das Ergebnis immer mehr ab. Deshalb liegen Funktionen mit größerem Exponenten im Bereich $0<x<1$.

Vergleiche die Funktionen $x^2$ und $x^3$.

Setze für $x$ die Zahl $\mathrm{0,5}$ ein.

${\mathrm{0,5}}^2=\mathrm{0,25}$

Setze die Zahlt $\mathrm{0,5}$ für $x$ in die Funktion $x^3$ ein.

${\mathrm{0,5}}^3=\mathrm{0,125}$

$\mathrm{0,125}$ ist tatsächlich kleiner als $\mathrm{0,25}$. Somit liegt $x^2$ oberhalb von $x^3$ .

x-Werte größer 1

$x>1$

Wenn man zwei gleiche Zahlen, die größer als $1$ sind, miteinander multipliziert, ist das Ergebnis größer als der Wert der zwei gleichen Zahlen. Wenn man das Produkt wieder ein oder mehrmals mit dem gleichen Wert wie dem der zwei anfänglichen Zahlen multipliziert, nimmt das Ergebnis immer mehr zu. Deshalb liegen Funktionen mit größerem Exponenten im Bereich $x>1$ über Funktionen mit kleinerem Exponenten.

Vergleiche die Funktionen $x^2$ und $x^3$ .

Setze für $x$ die Zahl $2$ ein.

$2^2=4$

Setze die Zahl $2$ für $x$ in die Funktion $x^3$ ein.

$2^3=8$

$8$ ist tatsächlich größer als $4$. Somit liegt $x^3$ oberhalb von $x^2$ .