Exercises: Power- and root functions

Bestimme die Symmetrie und den Verlauf der Graphen folgender Potenzfunktionen und gib jeweils die Wertemenge und den Grad an.

$f (x) = 4 x^{3}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzfunktion
Symmetrie
$f (x) = 4 x^{3}$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.
$f (- x) = 4 {(- x)}^{3}$
$f (- x) = - (4 \cdot x^{3}) = - f (x)$
$\Rightarrow$ Somit ist der Graph punktsymmetrisch .
Verlauf des Graphen
Überprüfe durch welche Quadranten der Graph verläuft indem du einen x-Wert der kleiner als 0 und einen der größer als 0 ist, einsetzt.
$f (- 2) = 4 \cdot (- 2)^{3}$
$= - 32$
$f (2) = 32$
$\Rightarrow$ Der Graph läuft durch den III und den I Quadranten .
Wertemenge
Gib die Wertemenge der Funktion an.
Es gibt keine Definitionslücken, weshalb man für x jeden Wert einsetzen kann. Das Ergebnis kann jede positive oder negative Zahl sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle Zahlen enthalten.
$W = ℝ$
Grad
Lese den Grad der Potenzfunktion ab.
$f (x) = 4 x^{3} \Rightarrow$ $n = 3$
$f (x) = - 160 x^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzfunktion
Symmetrie
$f (x) = - 160 x^{2}$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.
$f (- x) = - 160 (- x)^{2}$

$f (- x) = - 160 x^{2} = f (x)$

$\Rightarrow$ Somit ist der Graph achsensymmetrisch .
Verlauf des Graphen
Überprüfe durch welche Quadranten der Graph verläuft, indem du einen $x$ -Wert über 0 und einen unter 0 einsetzt.

$f (2) = - 160 \cdot 2^{2}$

$f (2) = - 640$

$f (- 2) = - 160 \cdot {(- 2)}^{2}$

$f (- 2) = - 640$

$\Rightarrow$ Der Graph läuft durch den III. und IV. Quadranten.
Bemerkung: Das ist natürlich ein schrecklich ungenaues Verfahren.
Besser man sagt, dass $x^{2}$ nie negativ ist und daher $- 160 x^{2}$ nie posiitiv ist. Wegen des Definitionsbereichs muss der Graph dann durch den III. und IV. Quadranten laufen.
Wertemenge
Bestimme die Wertemenge:
Es gibt keine Definitionslücken, weshalb man für x jeden Wert einsetzen kann. Die Ergebnisse können aber nur negative Werte oder $0$ sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle negativen Werte und die $0$ enthalten.
$W = ℝ_{0}^{-}$
Grad
Lese den Grad der Potenzfunktion ab.
$f (x) = - 160 x^{2} \Rightarrow n = 2$
$f (x) = - 1500 x$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzfunktion
Symmetrie
$f (x) = - 1500 x$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.

$f (- x) = 1500 x = - f (x)$

$\Rightarrow$ Die Funktion ist punktsymmetrisch .
Verlauf des Graphen
Überprüfe durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen x-Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f (2) = - 3000$

$\Rightarrow$ Der Graph verläuft durch den II und den IV Quadranten.
Wertemenge
Bestimme die Wertmenge der Funktion:
Es gibt keine Definitionslücken ,weshalb man für x jeden Wert einsetzen kann. Das Ergebnis kann jede positive oder negative Zahl sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle Zahlen enthalten.
$W = ℝ$
Grad
Lese den Grad der Potenzfunktion ab.
f(x) = -1500x=-1500x^\textcolor{ff6600}{1} \Rightarrow \textcolor{ff6600}{n=1} ParseError: Got function '\textcolor' with no arguments as superscript at position 24: … -1500x=-1500x^\̲t̲e̲x̲t̲c̲o̲l̲o̲r̲{ff6600}{1} \Ri…
$f (x) = \sqrt{2} \cdot x^{6}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzfunktion
Symmetrie
$f (x) = \sqrt{2} \cdot x^{6}$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.
$f (- x) = \sqrt{2} \cdot {(- x)}^{6}$

$f (- x) = \sqrt{2} \cdot x^{6} = f (x)$

$\Rightarrow$ Somit ist der Graph achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse .
Allgemein sind alle geraden Potenzfunktionen achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Verlauf des Graphen
Überprüfe, durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen Wert unter $0$ und einen über $0$ einsetzt.

$f (- 2) = \sqrt{2} \cdot 64$

$f (- 2) \approx 90,5$

$f (2) \approx 90,5$

$\Rightarrow$ Der Graph verläuft durch den II. und I. Quadranten (oberhalb der $x$ -Achse).
Wertemenge
Bestimme die Wertemenge der Funktion:
Es gibt keine Definitionslücke, also kann man jeden Wert für $x$ einsetzen. Das Ergebnis kann aber aufgrund des Exponenten $6$ nicht negativ sein. Also sind in der Wertemenge alle positiven Werte und die $0$ enthalten.
$W = ℝ_{0}^{+}$
Grad
Lies den Grad der Potenzfunktion ab:
$f (x) = \sqrt{2} x^{6} \Rightarrow n = 6$
$f (x) = 5$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzfunktion
Hinweis: $f (x)$ kann man auch als $f (x) = 5 = 5 \cdot x^{0}$ auffassen $(x^{0} = 1)$ . Somit ist $f$ tatsächlich eine Potenzfunktion.
Symmetrie
$f (x) = 5$
Der Graph hat für jeden $x$ -Wert den $y$ -Wert $5$ . Er verläuft also parallel zur $x$ -Achse.
$\Rightarrow$ Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
Verlauf des Graphen
Überprüfe, durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen $x$ -Wert unter $0$ und einen über $0$ einsetzt.
$f (- 2) = 5$
$f (2) = 5$
$\Rightarrow$ Der Graph verläuft durch den II. und I. Quadranten (oberhalb der x-Achse).
Wertemenge
Bestimme die Wertemenge der Funktion.
$W = {5}$
Nur der Wert $5$ gehört zu der Wertemenge dieser Funktion.
Grad
Gib den Grad der Funktion an.
$f (x) = 5 = 5 \cdot 1 = 5 \cdot x^{0} \Rightarrow n = 0$
$x$ kommt in der Funktion nicht als Faktor vor. Somit ist der Grad der Potenzfunktion $0$ .
$f (x) = - 25 x^{5}$

For this task you need the following basic knowledge: Potenzfunktion
Symmetrie
$f (x) = - 25 x^{5}$
Setze $- x$ in $f (x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.
$f (- x) = - 25 {(- x)}^{5}$

$f (- x) = 25 x^{5} = - f (x)$

$\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Allgemein sind alle ungeraden Potenzfunktionen punktsymmetrisch zum Ursprung.
Verlauf des Graphen
Überprüfe, durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen $x$ -Wert unter $0$ und einen über $0$ einsetzt.

$f (- 2) = - 25 {(- 2)}^{5}$

$f (- 2) = 800$

$f (2) = - 800$

$\Rightarrow$ Der Graph verläuft durch den II. und IV. Quadranten.
Wertemenge
Bestimme die Wertemenge.
Es gibt keine Definitionslücken, weshalb man für $x$ jeden Wert einsetzen kann. Das Ergebnis kann jede positive oder negative Zahl sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle Zahlen enthalten.
$W = ℝ$
Grad
Lies den Grad der Potenzfunktion ab.
$f (x) = - 25 x^{5} \Rightarrow n = 5$

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Exercises: Power- and root functions

Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad

Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad

Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad

Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad

Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad

Symmetrie

Verlauf des Graphen

Wertemenge

Grad