Exercises: Power- and root functions

Gegeben ist die Funktion $f (x) = \sqrt{x + 1,5} + \sqrt{2 x - 1} - 4$ .

Bestimme den maximalen Definitionsbereich.

For this task you need the following basic knowledge: Definitionsbereich
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.
Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Beide Wurzeln im Funktionsterm müssen untersucht werden:
Wurzelterm 1:
Prüfe, wann der Radikand $x + 1,5$ größer oder gleich null ist.
$x + 1,5$ $\geq$ $0$ $- 1,5$
$x$ $\geq$ $- 1,5$
Wurzelterm 2:
Prüfe, wann der Radikand $2 x - 1$ größer oder gleich null ist.
$2 x - 1$ $\geq$ $0$ $+ 1$
$2 x$ $\geq$ $1$ $: 2$
$x$ $\geq$ $\frac{1}{2}$
Damit hat die Funktion $f$ den maximalen Definitionsbereich:

$𝔻_{f} = {x \in ℝ | x \geq \frac{1}{2}}$
(Mit $x \geq \frac{1}{2}$ ist die Bedingung für den $1$ . Wurzelterm auch erfüllt.)
Zeichne mithilfe einer Wertetabelle den Graphen der Funktion $f$ für $\frac{1}{2} \leq x \leq 5$

For this task you need the following basic knowledge: Wertetabelle
Für die Wertetabelle werden einige Funktionswerte berechnet.
Beginne mit dem linken Rand des Definitionsbereiches mit $x = 0,5$ .
$x$
$f (x)$
(gerundete Werte)
$0,5$
$- 2,6$
$1$
$- 1,4$
$2$
$- 0,4$
$3$
$0,4$
$4$
$1$
$5$
$1,6$
Graphische Darstellung:

$x$	$f (x)$ (gerundete Werte)
$0,5$	$- 2,6$
$1$	$- 1,4$
$2$	$- 0,4$
$3$	$0,4$
$4$	$1$
$5$	$1,6$

Berechne den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse.

Tipp: Es muss zweimal quadriert werden.

For this task you need the following basic knowledge: Nullstelle

Die $x$ -Achse wird geschnitten, wenn $f (x) = 0$ ist.

$f (x) = \sqrt{x + 1,5} + \sqrt{2 x - 1} - 4$

Setze $f (x) = 0$ .

$0$	$=$	$\sqrt{x + 1,5} + \sqrt{2 x - 1} - 4$	$+ 4$
$4$	$=$	$\sqrt{x + 1,5} + \sqrt{2 x - 1}$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren, beachte die binomische Formel.
$16$	$=$	$x + 1,5 + 2 \cdot \sqrt{x + 1,5} \cdot \sqrt{2 x - 1} + 2 x - 1$
	↓	Fasse zusammen.
$16$	$=$	$3 x + 0,5 + 2 \cdot \sqrt{(x + 1,5) \cdot (2 x - 1)}$	$- 0,5 - 3 x$
	↓	Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
$15,5 - 3 x$	$=$	$2 \cdot \sqrt{(x + 1,5) \cdot (2 x - 1)}$	$()^{2}$

Du hast wieder eine Wurzelgleichung erhalten. d.h. es muss erneut quadriert werden.

$2 \cdot \sqrt{(x + 1,5) \cdot (2 x - 1)}$	$=$	$15,5 - 3 x$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$4 \cdot (x + 1,5) \cdot (2 x - 1)$	$=$	$(15,5 - 3 x)^{2}$
	↓	Vereinfache. Beachte die binomische Formel auf der rechten Seite.
$4 \cdot (2 x^{2} - x + 3 x - 1,5)$	$=$	$240,25 - 93 x + 9 x^{2}$
	↓	Fasse zusammen und löse die Klammer auf.
$8 x^{2} + 8 x - 6$	$=$	$240,25 - 93 x + 9 x^{2}$	$- 8 x^{2} - 8 x + 6$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$0$	$=$	$x^{2} - 101 x + 246,25$

Du hast die quadratische Gleichung $0 = x^{2} - 101 x + 246,25$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der p-q-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p = - 101$ und $q = 246,25$

Setze die Werte in die p-q-Formel ein:

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 101$ und $q = 246,25$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 101)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 101}{2})}^{2} - 246,25}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$50,5 \pm \sqrt{2550,25 - 246,25}$
	$=$	$50,5 \pm \sqrt{2304}$
	$=$	$50,5 \pm 48$
$x_{1}$	$=$	$98,5$
$x_{2}$	$=$	$2,5$

Du hast die Lösungen $x_{1} = 98,5$ und $x_{2} = 2,5$ erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.

Probe mit $x_{1} = 98,5$ :

Setze $x = 98,5$ in $f (x) = \sqrt{x + 1,5} + \sqrt{2 x - 1} - 4$ ein:

$f (98,5)$	$=$	$\sqrt{98,5 + 1,5} + \sqrt{2 \cdot 98,5 - 1} - 4$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\sqrt{100} + \sqrt{196} - 4$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
	$=$	$10 + 14 - 4$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$20$

$f (98,5) = 20$ und somit ist $x_{1}$ keine Lösung der Wurzelgleichung und somit auch keine Nullstelle.

Probe mit $x_{2} = 2,5$ :

Setze $x = 2,5$ in $f (x) = \sqrt{x + 1,5} + \sqrt{2 x - 1} - 4$ ein:

$f (2,5)$	$=$	$\sqrt{2,5 + 1,5} + \sqrt{2 \cdot 2,5 - 1} - 4$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\sqrt{4} + \sqrt{4} - 4$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
	$=$	$2 + 2 - 4$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$0$

$f (2,5) = 0$ und somit ist $x_{2}$ die Lösung der Wurzelgleichung und damit die gesuchte Nullstelle.

Antwort: Der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse lautet: $N (2,5 | 0)$ .

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$2 x - 1$	$\geq$	$0$	$+ 1$
$2 x$	$\geq$	$1$	$: 2$
$x$	$\geq$	$\frac{1}{2}$

Exercises: Power- and root functions

Wurzelterm 1:

Wurzelterm 2: