Exercises: Power- and root functions

Der Marineclub hat als Logo einen stilisierten Fisch (siehe Abbildung).

Das Logo wird durch die beiden Randfunktionen $f (x)$ und $g (x)$ modelliert. Dabei ist die untere Randfunktion gegeben durch $f (x) = \frac{x}{2} \cdot \sqrt{x + 2}$ .

Wie lautet die Funktionsgleichung von $g (x)$ ?

For this task you need the following basic knowledge: Spiegelung einer Funktion
Wird die Funktion $f$ an der $x$ -Achse gespiegelt, erhältst du die Funktion $g$ .
Für die Spiegelung an der $x$ -Achse muss der Funktionsterm von $f$ mit $(- 1)$ multipliziert werden. Damit hat die Funktion $g$ die Funktionsgleichung:
$g (x) = - \frac{x}{2} \cdot \sqrt{x + 2}$
Berechne die Nullstellen von $f (x)$ und skaliere die Koordinatenachsen in der Abbildung.

For this task you need the following basic knowledge: Nullstelle
Nullstellenberechnung
Setze $f (x) = 0$ :
$f (x) = \frac{x}{2} \cdot \sqrt{x + 2}$
$0$ $=$ $\frac{x}{2} \cdot \sqrt{x + 2}$
Du hast die Gleichung $0 = \frac{x}{2} \cdot \sqrt{x + 2}$ erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst. Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von $\frac{x}{2}$ und $\sqrt{x + 2}$ gleich $0$ ist, so ist $x = 0$ oder $\sqrt{x + 2} = 0$ .
$0$ $=$ $\sqrt{x + 2}$ $()^{2}$
↓
Quadriere.
$0$ $=$ $x + 2$ $- 2$
$x$ $=$ $- 2$
Somit ist $x = 0$ und/oder $x = - 2$ .
Antwort: Die beiden Nullstellen der Funktion $f$ sind $x_{1} = 0$ und $x_{2} = - 2$ .
Skalierung der Koordinatenachsen
Skalierung der $x$ -Achse
Die beiden Nullstellen werden in das Koordinatensystem der obigen Abbildung eingetragen und geben die Skalierung der $x$ -Achse vor.
Die beiden Nullstellen sind $x_{1} = 0$ und $x_{2} = - 2$ . Das Intervall $[- 2; 0]$ auf der $x$ -Achse ist in zwei Abschnitte unterteilt, d.h. ein Abschnitt entspricht einer Einheit.
Damit kann die $x$ -Achse skaliert werden.
Skalierung der $y$ -Achse
Für die Skalierung der $y$ -Achse kann z.B. $f (1)$ berechnet werden.
Setze $x = 1$ in $f (x) = \frac{x}{2} \cdot \sqrt{x + 2}$ ein:
$f (1)$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1 + 2}$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}$
$\approx$ $0,87$
Die Funktion $f (x)$ hat für $x = 1$ etwa den Funktionswert $0,87$ .
Damit kann auch die $y$ -Achse skaliert werden.
Bestimme den Definitionsbereich der Funktion $f$ .

For this task you need the following basic knowledge: Definitionsbereich
Die Funktion $f$ ist von $x = - 2$ (Nullstelle $N_{2}$ ) bis $x = 1$ gezeichnet. Der Definitionsbereich ist somit: $𝔻_{f} = {x \in ℝ | - 2 \leq x \leq 1}$

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$0$	$=$	$\sqrt{x + 2}$	$()^{2}$
	↓	Quadriere.
$0$	$=$	$x + 2$	$- 2$
$x$	$=$	$- 2$

$f (1)$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1 + 2}$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}$
	$\approx$	$0,87$

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Skalierung der Koordinatenachsen