Exercises: Power- and root functions

Gegeben sind die beiden Funktionen $f (x) = \sqrt{2 x + 4}$ und $g (x) = \sqrt{4 x - 8}$ .

Berechne, in welchem Punkt sich die beiden Funktionsgraphen schneiden.

Für die Schnittpunktberechnung setze $f (x) = g (x)$ . Du erhältst eine Wurzelgleichung $\sqrt{2 x + 4} = \sqrt{4 x - 8}$ .
1. Bestimme den Definitionsbereich für die Wurzeln
$\sqrt{2 x + 4}$ ist für $2 x + 4 < 0$ nicht definiert, d.h. für $x < - 2$ .
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für diese Wurzel: $𝔻 = {x \in ℝ | x \geq - 2}$
$\sqrt{4 x - 8}$ ist für $4 x - 8 < 0$ nicht definiert, d.h. für $x < 2$ .
Der Definitionsbereich für diese Wurzel ist dann: $𝔻 = {x \in ℝ | x \geq 2}$
Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die zwei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die zwei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab $x \geq 2$ überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung $\underset{x \geq 2}{\underset{⏟}{\sqrt{4 x - 8}}} = \underset{x \geq - 2}{\underset{⏟}{\sqrt{2 x + 4}}}$ gilt dann:

$𝔻 = {x \in ℝ | x \geq 2}$

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x \geq 2$ ist.
2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren
$\sqrt{2 x + 4}$ $=$ $\sqrt{4 x - 8}$ $()^{2}$
↓
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$2 x + 4$ $=$ $4 x - 8$ $- 2 x - 4$
↓
Löse nach $x$ auf.
$0$ $=$ $2 x - 12$ $+ 12$
$12$ $=$ $2 x$ $: 2$
$x$ $=$ $6$
$x = 6$ liegt im Definitionsbereich $𝔻 = {x \in ℝ | x \geq 2}$ der Wurzelgleichung.
3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen
Probe für $x = 6$ :
Setze $x = 6$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2 x + 4} = \sqrt{4 x - 8}$ ein:
$\sqrt{2 \cdot 6 + 4}$ $=$ $\sqrt{4 \cdot 6 - 8}$
↓
Vereinfache.
$\sqrt{16}$ $=$ $\sqrt{16}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$4$ $=$ $4 ✓$
Mit der Probe für $x = 6$ hast du gleichzeitig den $y$ -Wert des Schnittpunkts berechnet:
$f (6) = g (6) = 4$
Die beiden Graphen schneiden sich im Punkt $S (6 | 4)$ .
Zeichne die beiden Graphen mithilfe einer Wertetabelle.

Berechne einige Funktionswerte der beiden Graphen:
$f (x) = \sqrt{2 x + 4}$ mit $𝔻 = {x \in ℝ | x \geq - 2}$
Beispielsweise ist $f (- 2) = \sqrt{2 \cdot (- 2) + 4} = \sqrt{- 4 + 4} = \sqrt{0} = 0$
Setzt man hingegen $x = - 2$ in $g (x) = \sqrt{4 x - 8}$ ein, so ergibt sich $g (- 2) = \sqrt{4 \cdot (- 2) - 8} = \sqrt{- 16}$ . Der Radikand ist negativ und die Wurzel ist nicht definiert. Beachte den Definitionsbereich für g(x): $𝔻 = {x \in ℝ | x \geq 2}$
$x$
$f (x)$
$g (x)$
$- 2$
$0$
nicht definiert
$- 1$
$\sqrt{2} \approx 1,4$
nicht definiert
$0$
$2$
nicht definiert
$1$
$\sqrt{6} \approx 2,4$
nicht definiert
$2$
$\sqrt{8} \approx 2,8$
$0$
$3$
$\sqrt{10} \approx 3,2$
$2$
$4$
$\sqrt{12} \approx 3,5$
$\sqrt{8} \approx 2,8$
$5$
$\sqrt{14} \approx 3,7$
$\sqrt{12} \approx 3,5$
$6$
4
4
$7$
$\sqrt{18} \approx 4,2$
$\sqrt{20} \approx 4,5$
Graphische Darstellung

$x$	$f (x)$	$g (x)$
$- 2$	$0$	nicht definiert
$- 1$	$\sqrt{2} \approx 1,4$	nicht definiert
$0$	$2$	nicht definiert
$1$	$\sqrt{6} \approx 2,4$	nicht definiert
$2$	$\sqrt{8} \approx 2,8$	$0$
$3$	$\sqrt{10} \approx 3,2$	$2$
$4$	$\sqrt{12} \approx 3,5$	$\sqrt{8} \approx 2,8$
$5$	$\sqrt{14} \approx 3,7$	$\sqrt{12} \approx 3,5$
$6$	4	4
$7$	$\sqrt{18} \approx 4,2$	$\sqrt{20} \approx 4,5$

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$\sqrt{2 x + 4}$	$=$	$\sqrt{4 x - 8}$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$2 x + 4$	$=$	$4 x - 8$	$- 2 x - 4$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$0$	$=$	$2 x - 12$	$+ 12$
$12$	$=$	$2 x$	$: 2$
$x$	$=$	$6$

$\sqrt{2 \cdot 6 + 4}$	$=$	$\sqrt{4 \cdot 6 - 8}$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{16}$	$=$	$\sqrt{16}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$4$	$=$	$4 ✓$

Exercises: Power- and root functions

1. Bestimme den Definitionsbereich für die Wurzeln

2. Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren

3. Probe für die erhaltene Lösung durchführen