Exercises: Discussion of e-functions

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und Extrema der folgenden Funktion:

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

For this task you need the following basic knowledge: E-Funktion

Definitionsbereich festlegen

Zunächst legst du den Defintionsbereich fest:

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

$e^{2 x} - 5$	$=$	$0$	$+ 5$
$e^{2 x}$	$=$	$5$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$2 x$	$=$	$\ln (5)$	$: 2$
$x$	$=$	$\frac{\ln (5)}{2}$

Damit ist der maximale Definitionsbereich $D_{f} = ℝ ∖ {\frac{\ln (5)}{2}}$ .

Nullstellenbestimmung

Bestimme nun die Nullstellen von f:

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

$e^{x} - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$e^{x}$	$=$	$4$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$x$	$=$	$\ln (4)$

Die einzige Nullstelle ist $(\ln (4) | 0)$ .

Ableitungen

Bilde die erste und zweite Ableitung von f:

1. Ableitung

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

$u^{'} = e^{x}, v^{'} = 2 e^{2 x}$

Wende die Quotientenregel an.

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{e^{x} \cdot (e^{2 x} - 5) - 2 e^{2 x} \cdot (e^{x} - 4)}{{(e^{2 x} - 5)}^{2}}$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\frac{e^{3 x} - 5 e^{x} - 2 e^{3 x} + 8 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{2}}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\frac{- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{2}}$

2. Ableitung

$f^{'} (x) = \frac{- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{2}}$

Berechne die Ableitung von Zähler ( $u^{'}$ ) und Nenner ( $v^{'}$ ).

$u^{'} = - 3 e^{3 x} + 16 e^{2 x} - 5 e^{x}, v^{'} = (e^{2 x} - 5) \cdot 2 \cdot 2 e^{2 x}$

Wende die Quotientenregel an.

$f^{''} (x)$	$=$	$\frac{(- 3 e^{3 x} + 16 e^{2 x} - 5 e^{x}) \cdot (e^{2 x} - 5)^{2} - (e^{2 x} - 5) \cdot 2 \cdot 2 e^{2 x} \cdot (- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x})}{(e^{2 x} - 5)^{4}}$
	↓	Kürze mit $(e^{2 x} - 5)$ .
	$=$	$\frac{(- 3 e^{3 x} + 16 e^{2 x} - 5 e^{x}) \cdot (e^{2 x} - 5) - 2 \cdot 2 e^{2 x} \cdot (- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x})}{{(e^{2 x} - 5)}^{3}}$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\frac{- 3 e^{5 x} + 16 e^{4 x} - 5 e^{3 x} + 15 e^{3 x} - 80 e^{2 x} + 25 e^{x} + 4 e^{5 x} - 32 e^{4 x} + 20 e^{3 x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{3}}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\frac{e^{5 x} - 16 e^{4 x} + 30 e^{3 x} - 80 e^{2 x} + 25 e^{x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{3}}$

Extrema bestimmen

Nun werden die Extrema bestimmt:

$f^{'} (x) = \frac{- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{2}}$

Es wird nur der Zähler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der Zähler 0 wird.

$- e^{3 x} + 8 e^{2 x} - 5 e^{x} = 0$

Substitution

Verwende die Substitution.

$u = e^{x}$

$- u^{3} + 8 u^{2} - 5 u = 0$

Klammere $u$ aus.

$u \cdot (- u^{2} + 8 u - 5) = 0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

$\Rightarrow u_{1} = 0$

Für weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

$- u^{2} + 8 u - 5 = 0$

Wende die Mitternachtsformel an.

$u_{2,3}$	$=$	$\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren .
	$=$	$\frac{- 8 \pm \sqrt{44}}{- 2}$
	↓	2 lässt sich aus der Wurzel ziehen.
	$=$	$\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{11}}{- 2}$

$u_{2} = \frac{- 8 + 2 \sqrt{11}}{- 2} = 4 - \sqrt{11}$

$u_{3} = \frac{- 8 - 2 \sqrt{11}}{- 2} = 4 + \sqrt{11}$

Resubstitution

Verwende nun die Resubstitution:

$u_{1} = e^{x_{1}}$

$0 = e^{x_{1}}$

Die Exponentialfunktion ist immer größer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und $x_{1}$ keine Nullstelle.

$u_{2} = e^{x_{2}}$

$4 - \sqrt{11} = e^{x_{2}}$

Wende den Logarithmus an.

$\ln (4 - \sqrt{11}) = x_{2}$

$u_{3} = e^{x_{3}}$

$4 + \sqrt{11} = e^{x_{3}}$

Wende den Logarithmus an.

$\ln (4 + \sqrt{11}) = x_{3}$

$y$ -Werte bestimmen

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

$x_{2}$ einsetzen.

$f (\ln (4 - \sqrt{11}))$	$=$	$\frac{e^{\ln (4 - \sqrt{11})} - 4}{e^{2 \cdot \ln (4 - \sqrt{11})} - 5} = \frac{4 - \sqrt{11} - 4}{{(4 - \sqrt{11})}^{2} - 5}$
	$=$	$\frac{- \sqrt{11}}{16 - 8 \sqrt{11} + 11 - 5} = \frac{- \sqrt{11}}{22 - 8 \sqrt{11}}$
	$=$	$\frac{1}{8 - 2 \sqrt{11}}$

Erster Extrempunkt

$(\ln (4 - \sqrt{11}) | \frac{1}{8 - 2 \sqrt{11}})$

$f (x) = \frac{e^{x} - 4}{e^{2 x} - 5}$

$x_{3}$ einsetzen.

$f (\ln (4 + \sqrt{11}))$	$=$	$\frac{e^{\ln (4 + \sqrt{11})} - 4}{e^{2 \cdot \ln (4 + \sqrt{11})} - 5}$
	$=$	$\frac{4 + \sqrt{11} - 4}{{(4 + \sqrt{11})}^{2} - 5} = \frac{\sqrt{11}}{22 + 8 \sqrt{11}}$
	$=$	$\frac{1}{8 + 2 \sqrt{11}}$

Zweiter Extrempunkt

$(\ln (4 + \sqrt{11}) | \frac{1}{8 + 2 \sqrt{11}})$

Art der Extrema bestimmen

$f^{''} (x) = \frac{e^{5 x} - 16 e^{4 x} + 30 e^{3 x} - 80 e^{2 x} + 25 e^{x}}{{(e^{2 x} - 5)}^{3}}$

Setze $x_{2}$ ein.

$\Rightarrow (\ln (4 - \sqrt{11}) | \frac{1}{8 - 2 \sqrt{11}})$

Die 2. Ableitung ist größer 0, da Zähler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle $x_{2}$ ein Tiefpunkt vor.

$f^{''} (\ln (4 + \sqrt{11})) = \frac{e^{5 \cdot \ln (4 + \sqrt{11})} - 16 e^{4 \cdot \ln (4 + \sqrt{11})} + 30 e^{3 \cdot \ln (4 + \sqrt{11})} - 80 e^{2 \cdot \ln (4 + \sqrt{11})} + 25 e^{\ln (4 + \sqrt{11})}}{(e^{2 \cdot \ln (4 - \sqrt{11})} + 5)^{3}}$

$\Rightarrow (\ln (4 + \sqrt{11}) | \frac{1}{8 + 2 \sqrt{11}})$

Die 2. Ableitung ist kleiner 0, da der Zähler kleiner und der Nenner größer 0 ist. Also liegt an der Stelle $x_{3}$ ein Hochpunkt vor.

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Exercises: Discussion of e-functions

Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

Substitution

Resubstitution

y-Werte bestimmen

Art der Extrema bestimmen

$y$ -Werte bestimmen