Mixed exercises: Trigonometric functions

Löse für $x \in] \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} [$ die folgende Gleichung nach $x$ auf:

$(\tan (x))^{3} + 2 \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)}$

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$(\tan (x))^{3} + 2 \tan (x)$	$=$	$\frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)}$
	↓	Verwende, dass $\frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} = \frac{\tan (x)}{\cos^{2} (x)}$ und subtrahiere auf beiden Seiten mit diesem Term.
$(\tan (x))^{3} + 2 \tan (x) - \frac{\tan (x)}{\cos^{2} (x)}$	$=$	$0$
	↓	Klammere $\tan (x)$ aus.
$\tan (x) (\tan (x)^{2} + 2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)})$	$=$	$0$
	↓	Verwende, dass $\tan (x)^{2} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .
$\tan (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)})$	$=$	$0$
	↓	Bringe den Term in der Klammer auf einen Hauptnenner.
$\tan (x) (\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)})$	$=$	$0$
	↓	Verwende den trigonometrischen Pythagoras und schreibe die $1$ um.
$\tan (x) (\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} x - \cos^{2} x}{\cos^{2} (x)})$	$=$	$0$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
$\tan (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)})$	$=$	$0$
	↓	Kürze.
$\tan (x) \cdot 1$	$=$	$0$
$\tan (x)$	$=$	$0$