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Shifting and stretching trigonometric functions

The graphs of the sine and cosine functions can be changed in various ways. They can be shifted or stretched in xx- and yy-direction.

A modified trigonometric function can, for example, look like this:

It is easier to describe the modifications if one factors out the term containing xx as follows:

Image

Allgemeine Form

Sinus: f(x)=a⋅sin⁡(b⋅(x+c))+d\displaystyle{f(x) = a \cdot \sin \big(b \cdot(x + c)\big) + d}

Kosinus: f(x)=a⋅cos⁡(b⋅(x+c))+d\displaystyle{f(x) = a \cdot \cos \big(b \cdot(x + c)\big) + d}

Die reellen Parameter a,b,c,da,b,c,d bestimmen, wie der Graph genau verändert wird.

Bemerkung: Nicht nur trigonometrische Funktionen lassen sich so verändern. Unter den folgenden Links findest du, wie man den Graphen einer beliebigen Funktion verschiebt oder staucht, oder streckt.

Einfluss der Parameter auf den Funktionsgraphen

Beobachtung an Beispielen

1. Betrachte f(x)=sin⁡(2⋅x)+1.f(x)=\sin(2\cdot x)+1.

Im Applet sieht man, dass sich der Funktionsgraph unter dem Einfluss der Parameter dd und bb verändert:

  1. Zunächst wird dd vom Startwert 00 beginnend bis zum Endwert 11 verändert. Währenddessen verschiebt sich der Funktionsgraph um 11 in yy-Richtung nach oben. Beim Endwert d=1d=1 hat die Funktion die Ruhelage y=1y=1. ⇒d\Rightarrow d verändert also die Ruhelage der Funktion.

  2. Danach wird bb vom Startwert 11 beginnend bis zum Endwert 22 verändert. Währenddessen staucht sich der Funktionsgraph in xx-Richtung zusammen; die Wellenberge und Wellentäler rücken enger aneinander, die Periode der Funktion wird kleiner. Beim Endwert b=2b=2 ist die Periode nur noch π\pi statt 2π2\pi. ⇒b\Rightarrow b verändert also die Periode der Funktion.

2. Betrachte g(x)=2⋅cos⁡(x−1).g(x)=2\cdot\cos(x-1).

Auch an diesem Applet sieht man, dass sich der Funktionsgraph unter dem Einfluss der Parameter aa und cc verändert:

  1. Zuerst wird cc vom Startwert 00 beginnend auf den Wert −1-1 verändert. Dabei verschiebt sich der Funktionsgraph in xx-Richtung um den Wert 11 nach rechts. ⇒c\Rightarrow c verändert also die Lage des Funktionsgraphen in xx-Richtung.

  2. Danach wird aa vom Startwert 11 beginnend bis zum Endwert 22 verändert. Dabei wird der Funktionsgraph in yy-Richtung gestreckt. ⇒a\Rightarrow a verändert also die Amplitude der Funktion.

Überblick über den Einfluss der Parameter

Parameter aa

Der Parameter aa beeinflusst die Amplitude. Er streckt/staucht den Graphen in yy-Richtung.

  • Der Graph hat die Amplitude ∣a∣|a|

  • a<0a<0: Der Graph wird zusätzlich an der Ruhelage gespiegelt.

Änderung der Amplitude

Parameter bb

Der Parameter bb beeinflusst die Periode. Er streckt/staucht den Graphen in xx-Richtung.

  • Der Graph hat die Periode p=2π∣b∣p = \dfrac{2\pi}{|b|}

  • b<0b<0: Der Graph wird zusätzlich an der senkrechten Achse x=−cx = -c gespiegelt

Änderung der Periode

Parameter cc

Der Parameter cc verursacht eine Verschiebung in xx-Richtung

  • c>0c > 0 : Verschiebung um cc nach links

  • c<0c < 0 : Verschiebung um cc nach rechts

Verschiebung in x-Richtung

Parameter dd

Der Parameter dd beeinflusst die Ruhelage. Er verschiebt den Graphen in yy-Richtung

  • d>0d > 0: Verschiebung um dd nach oben

  • d<0d < 0: Verschiebung um dd nach unten

  • Der Graph hat die Ruhelage bei y=dy = d

Verschiebung in y-Richtung

Zum Ausprobieren im Applet

Die beschriebenen Zusammenhänge sind in folgendem Applet veranschaulicht:

a⋅sin⁡(b(x+c))+d\color{#cc0000}{a\cdot\sin(b(x+c))+d}

a⋅cos⁡(b(x+c))+d\color{#009999}{a\cdot\cos(b(x+c))+d}

In diesen beiden nachfolgenden Bildern in den Übungsaufgaben siehst du jeweils einen Funktionsgraphen.

Gesucht ist jedes Mal eine Funktionsgleichung, die dazu passt.

Exercises: Shifting and stretching trigonometric functions

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