Mixed exercises: Trigonometric functions

How well do you know trigonometric functions? Practice on them with these exercises!

1
Berechne ohne Taschenrechner:
$\sin (\cos (\frac{π}{2})) + \tan (1 - \sin (\frac{5 π}{2}))$

For this task you need the following basic knowledge: trigonometrische Funktionen
Berechne $\sin (\frac{5 π}{2})$ . Die Sinusfunktion ist periodisch mit Periode $2 π$ .
$\sin (\cos (\frac{π}{2})) + \tan (1 - \sin (\frac{5 π}{2}))$
$= \sin (\cos (\frac{π}{2})) + \tan (1 - \sin (\frac{π}{2} + 2 π))$
$= \sin (\cos (\frac{π}{2})) + \tan (1 - \sin (\frac{π}{2}))$
Berechne $\cos (\frac{π}{2})$ und $\sin (\frac{π}{2})$ .Die Werte von $\sin (\frac{π}{2})$ und $\cos (\frac{π}{2})$ kannst du dir leicht merken. Deswegen brauchst du dafür keinen Taschenrechner.Als Hilfe kannst du dir den Graphen zu den Funktionen anschauen.
Daraus kannst du ablesen:
$\cos (\frac{π}{2}) = 0$
$\sin (\frac{π}{2}) = 1$
Diese Werte setzt du in den Term ein.
$. . . = \sin (\cos (\frac{π}{2})) + \tan (1 - \sin (\frac{π}{2}))$
$= \sin (0) + \tan (1 - 1)$
$= \sin (0) + \tan (0)$
Benutze nun die Definition der Tangensfunktion: $\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .
$. . . = \sin (0) + \tan (0)$
$= \sin (0) + \frac{\sin (0)}{\cos (0)}$
Setze die Funktionswerte ein. Zur Hilfe kannst du wieder den Graphen betrachten.
$. . . = \sin (0) + \frac{\sin (0)}{\cos (0)} = 0 + \frac{0}{1} = 0$
Also:
$\sin (\cos (\frac{π}{2})) + \tan (1 - \sin (\frac{5 π}{2})) = . . . = 0$

Berechne den Winkel $α$ im Intervall $[0, π]$ . Gib dein Ergebnis im Gradmaß an:

1 + 3 \cdot \sin^{2} (α) = 1 + \cos^{2} (α)

3
Es ist $\cos (2) \approx - 0,42$ . Bestimme 3 weitere Winkel, die den gleichen Kosinuswert haben.

For this task you need the following basic knowledge: Periode einer Funktion
Gegeben: $\cos (2) \approx - 0,42$
Gesucht: Weitere Stellen $a, b, c$ mit $\cos (a) = \cos (b) = \cos (c) = \cos (2)$
Zeichne die Kosinusfunktion, um die Periode zu bestimmen.
Betrachtet man den Graphen der Kosinusfunktion, so erkennt man, dass sich der Kosinus alle $2 π$ wiederholt. Das heißt, Kosinus hat die Periode $2 π$ .
Da der Kosinus Periode $2 π$ hat, gilt allgemein
$\cos (x) = \cos (x + 2 π) = \cos (x + 4 π) = \dots$
für jede Stelle $x$ und damit
$\cos (2) = \cos (2 + 2 π) = \cos (2 + 4 π) = \dots$
Daher findet man weitere Stellen $a, b, c$ zum Beispiel mit
$a = 2 + 2 π, b = 2 + 4 π, c = 2 + 6 π$
Alternative Lösung
Jetzt beschreiben wir eine andere Möglichkeit, wie du die Aufgabe lösen kannst.
Hierfür benötigst Du zusätzlich folgendes Grundwissen:
Kosinus ist eine gerade Funktion
Bisher haben wir den Punkt $A$ mit den Koordinaten $(2, \cos (2))$ .
Wir wissen, dass $\cos (x - 2 π) = \cos (x)$ ist.
Daher können wir $a = 2 - 2 π$ nehmen, da der Kosinus dort denselben Wert hat (Punkt $D$ ).
Wie man in der Skizze sieht, ist der Graph der Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Daher erhalten wir die Punkte $C$ als Spiegelpunkt zu $A$ mit $b = - 2$ und $B$ als Spiegelpunkt zu $D$ mit $c = 2 π - 2$ als weitere Lösungen.
4
Prüfe, ob folgende Gleichungen für jede Stelle $x$ gelten:
$\sin (x) + \sin (y) = \sin (x + y)$

For this task you need the following basic knowledge: Sinus- und Kosinusfunktion
Prüfe: $\sin (x + y) = \sin (x) + \sin (y)$
Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\sin (x + y)$ und $\sin (x) + \sin (y)$ an beispielsweise $x = y = \frac{π}{2}$ . Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.
$\sin (\frac{π}{2}) = 1$ und
$\sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{2}) = \sin (π) = 0$
Damit ist $\sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{2}) \neq \sin (\frac{π}{2}) + \sin (\frac{π}{2})$
Und daher im Allgemeinen: $\sin (x + y) \neq \sin (x) + \sin (y)$
Beachte, dass es durchaus Stellen $x, y$ gibt, welche die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel $x = y = 0$ , denn es ist $\sin (0) = 0$ . Es war jedoch nach der allgemeinen Gültigkeit der Gleichung gefragt.

$\cos (x) + \cos (y) = \cos (x + y)$

For this task you need the following basic knowledge: Sinus- und Kosinusfunktion
Prüfe: $\cos (x) + \cos (y) = \cos (x + y)$
Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\cos (x + y)$ und $\cos (x) + \cos (y)$ an beispielsweise $x = y = 0$ . Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.
$\cos (0) + \cos (0) = 2$
$\cos (0 + 0) = \cos (0) = 1$
Damit ist allgemein $\cos (x) + \cos (y) \neq \cos (x + y) .$
5
Finde Beispiele für Phänomene in der Realität, die sich durch Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben lassen.

For this task you need the following basic knowledge: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Im allgemeinen lassen sich Wellen durch Sinus- und Kosinusfunktionen beschreiben. Das können zum Beispiel Wasserwellen, Schallwellen, Elektromagnetische Wellen sein. Das heißt, dass diese Funktionen vorallem in der Physik ihre Anwendung finden.
6
Prüfe, für welche $x$ im Intervall zwischen $0$ und $2 π$ die folgenden Gleichungen gelten:
Hinweis: Verwende den trigonometrischen Pythagoras $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .
$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 1$

For this task you need the following basic knowledge: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Gegeben:
$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 1$
Verwende den trigonometrischen Pythagoras wie im Hinweis.
$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$
Subtrahiere auf beiden Seiten $\sin^{2} (x)$ und addiere auf beiden Seiten $\cos^{2} (x)$ .
$2 \cdot \cos^{2} (x) = 0$
Teile durch $2$ und ziehe die Wurzel.
$\cos (x) = 0$
Lese aus dem Graphen der Kosinusfunktion ab, welche Nullstellen der Kosinus zwischen $0$ und $2 π$ hat.
$x = \frac{π}{2}$ oder $x = \frac{3 π}{2}$

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x)) = \sin (x)$

For this task you need the following basic knowledge: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x)) = \sin (x)$
Verwende auf der linken Seite der Gleichung die dritte binomische Formel.
$1 - \cos^{2} (x) = \sin (x)$
Verwende den trigonometrischen Pythagoras.
$\sin^{2} (x) = \sin (x)$
Bringe $\sin (x)$ auf die andere Seite und klammere dann $\sin (x)$ aus.
$\sin (x) (\sin (x) - 1) = 0$
Diese Gleichung ist erfüllt, falls $\sin (x) = 0$ oder $\sin (x) - 1 = 0$ .
$\sin (x) = 0$ , falls $x = 0$ oder $x = π$ oder $x = 2 π$
$\sin (x) = 1$ , falls $x = \frac{π}{2}$
Gebe die Lösungen in einer Lösungsmenge an.
$L = {0, \frac{π}{2}, π, 2 π}$

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) = \cos^{2} (x)$

For this task you need the following basic knowledge: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
$(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x)) = \cos^{2} (x)$
Verwende die dritte binomische Formel auf der linken Seite der Gleichung.
$1 - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$
Addiere auf beiden Seiten der Gleichungen $\sin^{2} (x)$ .
$1 = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$
Bemerke, dass dies genau der trigonometrische Pythagoras ist, welche für jede Stelle $x$ erfüllt ist.
$x \in [0,2 π]$

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = 2$

For this task you need the following basic knowledge: Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Gegeben:
$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = 2$
Verwende den trigonometrischen Pythagoras: $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 2$
Vergleichst du diese Formel mit der Augangsgleichung, erhälst du den Ausdruck " $1 = 2$ ", welcher jedoch nie erfüllt ist.
Lösungsmenge $L = {}$
Sprechweise: "Die Lösungsmenge ist leer." bzw. "Es existiert keine Lösung."
7
Entscheide, ob die folgenden Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen richtig oder falsch sind.
$\cos (90 ° - α) = \sin (α)$
Richtig
Falsch

$\sin (α + 180 °) = - \sin (α)$
Richtig
Falsch
8
Vereinfache den folgenden Term, bis nur noch $\tan (x)$ darin vorkommt:
$(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (1 + \frac{1}{\cos (x)})$

For this task you need the following basic knowledge: Tangensfunktion
Forme $(1 - \frac{1}{\cos (x)}) (1 + \frac{1}{\cos (x)})$ um.
Verwende die dritte binomische Formel.
$= 1 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$
Bilde den Hauptnenner und führe die Brüche zusammen.
$= \frac{\cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}$
Verwende den trigonometrischen Pythagoras.
$= \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$
Verwende die Definition des Tangens.
$= (\tan (x))^{2}$

Löse für $x \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ die folgende Gleichung nach $x$ auf:

\tan (x) + \sin (x) = 0

Löse für $x \in] \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} [$ die folgende Gleichung nach $x$ auf:

$(\tan (x))^{3} + 2 \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)}$

$1 + 3 \cdot \cos^{2} (α)$	$=$	$1 + \sin^{2} (α)$	$- \sin^{2} (α)$
	↓	Bringe Sinus und Kosinus auf eine Seite.
$1 + 3 \cdot \cos^{2} (α) - \sin^{2} (α)$	$=$	$1$
	↓	Nach Betrachten des Terms, entdeckst du, dass du den trigonometrischen Pythagoras anwenden kannst.
$1 - \sin^{2} (α) + 3 \cdot \cos^{2} (α)$	$=$	$1$
	↓	Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
$\cos^{2} (α) + 3 \cdot \cos^{2} (α)$	$=$	$1$
$4 \cdot \cos^{2} (α)$	$=$	$1$	$: 4$
$\cos^{2} (α)$	$=$	$\frac{1}{4}$	$\sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\cos (α)$	$=$	$\sqrt{\frac{1}{4}}$
$\cos (α)$	$=$	$\pm \frac{1}{2}$

$\tan (x) + \sin {(x)}^{}$	$=$	$0$
	↓	Verwende die Definition des Tangens.
$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$	$=$	$0$
	↓	Klammere sin(x) aus.
$\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)$	$=$	$0$
	↓	Das Produkt ist $0$ , falls einer der beiden Faktoren $0$ ist.
$\sin (x)$	$=$	$0$
	↓	oder
$\frac{1}{\cos (x)} + 1$	$=$	$0$
	↓	Forme die zweite Gleichung um, indem du beiden Seiten mit $- 1$ subtrahierst und mit $\cos (x)$ multiplizierst.
$\sin (x)$	$=$	$0$
	↓	oder
$- \cos (x)$	$=$	$1$
	↓	Multipliziere auf beiden Seiten der zweiten Gleichung mit $(- 1)$ .
$\sin (x)$	$=$	$0$
	↓	oder
$\cos (x)$	$=$	$- 1$
	↓	Betrachte die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion zur Bestimmung der $x$ -Werte in dem vorgeschriebenen Intervall.
$x$	$=$	$0$

$(\tan (x))^{3} + 2 \tan (x)$	$=$	$\frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)}$
	↓	Verwende, dass $\frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} = \frac{\tan (x)}{\cos^{2} (x)}$ und subtrahiere auf beiden Seiten mit diesem Term.
$(\tan (x))^{3} + 2 \tan (x) - \frac{\tan (x)}{\cos^{2} (x)}$	$=$	$0$
	↓	Klammere $\tan (x)$ aus.
$\tan (x) (\tan (x)^{2} + 2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)})$	$=$	$0$
	↓	Verwende, dass $\tan (x)^{2} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .
$\tan (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)})$	$=$	$0$
	↓	Bringe den Term in der Klammer auf einen Hauptnenner.
$\tan (x) (\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)})$	$=$	$0$
	↓	Verwende den trigonometrischen Pythagoras und schreibe die $1$ um.
$\tan (x) (\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} x - \cos^{2} x}{\cos^{2} (x)})$	$=$	$0$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
$\tan (x) (\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)})$	$=$	$0$
	↓	Kürze.
$\tan (x) \cdot 1$	$=$	$0$
$\tan (x)$	$=$	$0$