Exercises: Finding function terms

1
Auf dem Graph der Funktion $a x^{2}$ liegen die folgenden Punkte. Gib für jeden Punkt den Funktionsterm an.
$P (2 | 3)$

For this task you need the following basic knowledge: Funktionsterm aufstellen
Setze $P$ in die Funktionsgleichung ein:
$3$ $=$ $a \cdot 2^{2}$ $: 4$
$\frac{3}{4}$ $=$ $a$
$f (x) = \frac{3}{4} x^{2}$

$Q (1 | - 4)$

For this task you need the following basic knowledge: Funktionsterm aufstellen
Setze $Q$ in die Funktionsgleichung an:
$- 4$ $=$ $a \cdot 1^{2}$
$- 4$ $=$ $a$
$f (x) = - 4 x^{2}$
2
Der Punkt $A (1,5 | - 0,25)$ liegt auf der Parabel der Form $x \mapsto x^{2} + e$ . Gib $e$ an.

For this task you need the following basic knowledge: Funktionsterm aufstellen
Setze den Punkt A in die Funktionsvorschrift ein:
$\begin{array}{cccc} - 0,25 & = & {1,5}^{2} + e \\ - 0,25 & = & 2,25 + e & | - 2,25 \\ - 2,5 & = & e \end{array}$
3
Gib zu den jeweiligen Scheiteln von verschobenen Normalparabeln den Funktionsterm an.
$S (- 2 | 2)$

For this task you need the following basic knowledge: Funktionsterm aufstellen
Funktionsterm aufstellen
Bei der Verschiebung der Normalparabel $x^{2}$ verändert sich der Faktor a nicht. Es verändert sich nur der Scheitelpunkt. Eingesetzt in die Scheitelform ergibt sich:
$f (x) = {(x + 2)}^{2} + 2$

$S (\frac{3}{4} | - \frac{5}{3})$

For this task you need the following basic knowledge: Funktionsterm aufstellen
Funktionsterm aufstellen
Bei der Verschiebung der Normalparabel $x^{2}$ verändert sich der Faktor a nicht. Es verändert sich nur der Scheitelpunkt. Eingesetzt in die Scheitelform ergibt sich:
$f (x) = {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{5}{3}$
4
Gib den Funktionsterm an, der die verschobene Normalparabel mit Scheitel $S (13 | 0)$ beschreibt.

For this task you need the following basic knowledge: Funktionsterm aufstellen
Bei der Verschiebung der Normalparabel $x^{2}$ verändert sich der Faktor a nicht. Es verändert sich nur der Scheitelpunkt. Eingesetzt in die Scheitelform ergibt sich:
$f (x) = {(x - 13)}^{2}$
5
Wie lautet die Gleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel mit Scheitel $S (5 | 2)$ ?

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelform
Man kann den Faktor a schon an der Angabe ablesen: eine nach unten geöffnete Normalparabel hat den Faktor -1. In die Scheitelform eingesetzt ergibt sich also :
$y = - {(x - 5)}^{2} + 2$
6
Bestimme die Funktionsgleichungen der quadratischen Funktionen mit den gegebenen Informationen.
Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte A(1|1), B(3|4), C(5|-1)

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktion aufstellen
Aufstellen einer quadratischen Funktion
Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.
$f (x) = {a x}^{2} + b x + c$
Setze A, B und C in die allgemeine Gleichung für quadratische Funktionen ein.
$(1) a + b + c = 1$
$(2) 9 a + 3 b + c = 4$
$(3) 25 a + 5 b + c = - 1$
Wende das Additionsverfahren an.
$(2) + (1) \cdot (- 1)$ : ${(1)}^{'} 8 a + 2 b = 3$
$(3) + (2) \cdot (- 1)$ : ${(2)}^{'} 16 a + 2 b = - 5$
${(2)}^{'} + {(1)}^{'} \cdot (- 1)$ : $8 a = - 8$
$| : 8$
$a = - 1$
Setze $a$ in ${(1)}^{'}$ ein.
$- 8 + 2 b = 3$
$| + 8$
$2 b = 11$
$| : 2$
$b = \frac{11}{2}$
Setze $a$ und $b$ in $(1)$ ein.
$- 1 + 5,5 + c = 1$
$| - 4,5$
$c = - 3,5$
$\Rightarrow f (x) = - x^{2} + 5,5 x - 3,5$

Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei x=3 und geht durch den Punkt P(2|0,3).

Aufstellen einer quadratischen Funktion
Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.
Da die gesuchte Funktion quadratisch ist, handelt es sich bei der doppelten Nullstelle bei $x = 3$ um den Scheitel der Parabel. Damit ist $f$ von der Form $f (x) = a \cdot (x - 3)^{2}$ . Der Parameter $a$ lässt sich nun durch Einsetzen des Punktes $P$ bestimmen:
$0,3 = a \cdot (2 - 3)^{2} = a$
$\Rightarrow f (x) = 0,3 \cdot (x - 3)^{2}$

Die nach unten geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt S(2|6).

Aufstellen einer quadratischen Funktion
Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.
Die Normalparabel ist um zwei Einheiten nach rechts und um sechs Einheiten nach oben verschoben. Zudem ist sie nach unten geöffnet. Damit gilt:
$f (x) = - (x - 2)^{2} + 6$

Die Funktion hat den Scheitelpunkt S(0|-3) und geht durch den Punkt P(1,5|2).

Aufstellen einer quadratischen Funktion
Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.
$f (x) = a {(x - b)}^{2} + c$
Bestimme $b$ und $c$ durch den Scheitel $S (0 | - 3)$ .
$f (x) = a x^{2} - 3$
Setze P in die Funktion ein.
$2 = a {(1,5)}^{2} - 3$
$| + 3$
$a {(1,5)}^{2} = 5$
Quadriere $1,5$
$a = \frac{5}{{1,5}^{2}} = \frac{5 \cdot 4}{9} = \frac{20}{9}$
Setze $a$ in die Funktion ein.
$\Rightarrow f (x) = \frac{20}{9} x^{2} - 3$

Die Funktion geht durch die Punkte A(2|4), B(3|5), C(-1|13).

Aufstellen einer quadratischen Funktion
Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.
Hier solltest du wissen, wie du eine Parabel durch drei gegebene Punkte legst. Außerdem brauchst du das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.
$A (2 | 4), B (3 | 5), C (- 1 | 13)$
Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung $f (x) = a x^{2} + b x + c$
$4 = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c$
$5 = a \cdot 3^{2} + b \cdot 3 + c$
$13 = a \cdot (- 1)^{2} + b \cdot (- 1) + c$
Als erstes solltest du die Potenzen ausrechnen.
$(I) 4 = 4 a + 2 b + c$
$(I I) 5 = 9 a + 3 b + c$
$(I I I) 13 = a - b + c$
Löse das Gleichungssystem. Hier wird die Lösung mittels Einsetzungsverfahren verwendet.
Löse als erstes zum Beispiel Gleichung $(I)$ nach $c$ auf.
$(I^{'}) c = 4 - 4 a - 2 b$
Setze dieses Ergebnis in die beiden anderen Gleichungen ein.
$(I I^{'}) 5 = 9 a + 3 b + (4 - 4 a - 2 b)$
$(I I I^{'}) 13 = a - b + (4 - 4 a - 2 b)$
Vereinfache die beiden Gleichungen.
$(I I^{'}) 1 = 5 a + b$
$(I I I^{'}) 9 = - 3 a - 3 b$
Löse beispielsweise Gleichung $(I I I^{'})$ nach $a$ auf.
$(I I I^{''}) - 3 a = 9 + 3 b | : (- 3)$
$(I I I^{''}) a = - 3 - b$
Setze $a$ in Gleichung $(I I^{'})$ ein und vereinfache.
$(I I^{''}) 1 = 5 (- 3 - b) + b)$
$(I I^{''}) 1 = - 15 - 5 b + b | + 15$
$(I I^{''}) 16 = - 4 b | : (- 4)$
$b = - 4$
Setze das Ergebnis für $b$ in Gleichung $(I I I^{''})$ ein, also die Gleichung für $a$ ein.
$a = - 3 - (- 4) = - 3 + 4 = 1$
Setze dein Ergebnis für $a$ und $b$ in die Gleichung für $c$ (I') ein.
$c = 4 - 4 \cdot 1 - 2 \cdot (- 4) = 4 - 4 + 8 = 8$
Deine Ergebnisse sind:
$a = 1, b = - 4, c = 8$
Setze in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalte die Lösung.
$\Rightarrow f (x) = x^{2} - 4 x + 8$
7
Bestimme jeweils die Scheitelform der unten abgebildeten Parabeln.

For this task you need the following basic knowledge: Funktionsterme aufstellen
Funktionsterme angeben
Mittels der Graphen kannst du die jeweiligen Funktionsterme aufstellen.
Lese dafür zunächst die Scheitelpunkte der drei Funktionen aus dem Koordinatensystem ab.
$S_{G_{f}} (- 1 | - 3)$
$S_{G_{g}} (0,5 | - 1)$
$S_{G_{h}} (2 | - 3)$
Gib mithilfe der Scheitelpunkte die allgemeine Scheitelform der jeweiligen Funktion an.
$\Rightarrow f (x) = a (x + 1)^{2} - 3$
$\Rightarrow g (x) = a (x - 0,5)^{2} - 1$
$\Rightarrow h (x) = a (x - 2)^{2} - 3$
$f (x) = a (x + 1)^{2} - 3$
Setzte nun einen weiteren Punkt ein um $a$ zu berechnen. Hier wurde der Punkt $(- 0,5 | 0)$ gewählt.
$0 = a (\frac{1}{2})^{2} - 3$ $| + 3, : \frac{1}{4}$
Löse nun nach $a$ auf.
$\frac{3}{\frac{1}{4}} = a$
Löse nun den Doppelbruch, indem du mit dem Kehrbruch multiplizierst.
$12 = a$
$\Rightarrow f (x) = 12 (x + 1)^{2} - 3$
$g (x) = a (x - 0,5)^{2} - 1$
Setze nun einen weiteren Punkt ein um $a$ zu berechnen. Hier wurde der Punkt $(0 | - 3)$ verwendet.
$- 3 = a (\frac{- 1}{2})^{2} - 1$ $| + 1, : \frac{1}{4}$
Löse nun nach $a$ auf.
$\frac{- 2}{\frac{1}{4}} = a$
$- 8 = a$
$\Rightarrow g (x) = - 8 (x - 0,5)^{2} - 1$
$h (x) = a (x - 2)^{2} - 3$
Setzte nun einen weiteren Punkt ein um $a$ zu berechnen. Hier wurde der Punkt $(0 | - 1)$ gewählt.
$- 1 = a (- 2)^{2} - 3$ $| + 3, : 4$
Löse nun nach $a$ auf.
$\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = a$
$\Rightarrow h (x) = 0,5 (x - 2)^{2} - 3$

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 2. Grades $f (x)$ schneidet die Koordinatenachsen in $P_{x_{1}} (k | 0); P_{x_{2}} (- 2 | 0)$ und in $P_{y} (0 | - k)$ mit $k \neq 0$ .

Bestimme die Funktionsgleichung $f (x)$ .

9
Bestimme die Funktionsgleichungen von drei verschiedenen quadratischen Funktionen $f_{1}$ , $f_{2}$ und $f_{3}$ nach folgenden Vorgaben: $f_{1}$ soll nur die Nullstelle $x = 5$ haben, $f_{2}$ und $f_{3}$ sollen jeweils die beiden Nullstellen $x_{1} = 1 + \sqrt{5}$ und $x_{2} = 1 - \sqrt{5}$ besitzen.

For this task you need the following basic knowledge: Linearfaktoren
Aufstellen einer quadratischen Funktion
$zu f_{1} :$
Die Funktion hat nur die Nullstelle $x = 5$ .
Zerlegung in Linearfaktoren.
Wähle z.B.: $f_{1} (x) = {(x - 5)}^{2}$
$zu f_{2} u n d f_{3} :$
Die Funktionen haben jeweils die Nullstellen $x_{1} = 1 + \sqrt{5}$ und $x_{2} = 1 - \sqrt{5}$ .
Zerlegung in Linearfaktoren.
Wähle z.B.:
$f_{2} = [x - (1 + \sqrt{5})] \cdot [x - (1 - \sqrt{5})]$
und
$f_{3} (x) = - [x - (1 + \sqrt{5})] \cdot [x - (1 - \sqrt{5})]$
10
Für eine Schulaufgabe soll eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $x_{1} = - 3$ und $x_{2} = 2$ entworfen werden; die Gleichung $x^{2} + x - 6 = 0$ erfüllt diese Vorgabe. Beschreibe, wie man – ausgehend von den Lösungen – auf diese Gleichung kommt.

For this task you need the following basic knowledge: Linearfaktoren
Quadratische Gleichung
Die Gleichung hat nur die Lösungen
$x_{1} = - 3$ und $x_{2} = 2$ .
Als Ansatz wählt man eine Darstellung in Linearfaktoren.
$a \cdot (x - (- 3)) \cdot (x - 2) = 0$
$a$ muss 1 sein, da sonst in der Gleichung, die sich am Schluss ergibt, vor $x^{2}$ eine Zahl $a \neq 1$ stehen würde.
$(x - (- 3)) \cdot (x - 2) = 0$
Klammern ausmultiplizieren
$x^{2} - 2 x + 3 x - 6 = 0$
Zusammenfassen.
$\Rightarrow x^{2} + x - 6 = 0$
11
Gib die Funktionsterme der gezeichneten Graphen an.
Überlege dir alle drei Funktionsterme, bevor du die Lösung öffnest, da dort alle drei Lösungen sofort erscheinen.

For this task you need the following basic knowledge: Funktionsterme angeben
Lese die Scheitelpunkte der drei Funktionen aus dem Koordinatensystem ab und gib die allgemeine Scheitelform an:
$h {(x) = a (x - 2)}^{2}$
Setzte nun einen weiteren Punkt ein um a zu berechnen. Hier wurde der Punkt (0;4) gewählt.
$4$ $=$ $4 \cdot a$
↓
Löse nun nach a auf.
$1$ $=$ $a$
$g {(x) = a (x + 2,5)}^{2}$
Setzte nun einen weiteren Punkt ein um a zu berechnen. Hier wurde der Punkt (-1.5,1) gewählt.
$1 = 1 \cdot a$
$\Rightarrow g {(x) = (x + 2,5)}^{2}$
$f (x) = a x^{2} - 1$
Setzte nun einen weiteren Punkt ein um a zu berechnen. Hier wurde der Punkt (1,0) gewählt.
$0$ $=$ $1 \cdot a - 1$ $+ 1$
$1$ $=$ $1 \cdot a$
$\Rightarrow f (x)$ $=$ $x^{2} - 1$
12
Bestimme den Öffnungsfaktor und den Funktionsterm der folgenden Parabeln!

For this task you need the following basic knowledge: Funktionsterm aufstellen für Parabeln
Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.
Suche dir nun einen Punkt, den du gut vom Funktionsgraphen ablesen kannst und der nicht der Scheitelpunkt ist.
Es bietet sich der Punkt $P (2 | 2)$ an, da da die Parabel genau die Kästchen trifft.
Setze die Koordinaten des Punktes $P (2 | 2)$ in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt $S (0 | 0)$ ein.
$y = a \cdot x^{2}$
$2 = a \cdot 2^{2}$
Löse diese Gleichung nach $a$ auf!
$2 = a \cdot 4 | : 4$
$\frac{2}{4} = a$
$a = \frac{1}{2}$
Der Öffnungsfaktor hat also den Wert $a = \frac{1}{2}$ .
Aufstellen der Funktionsgleichung
Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung $y = a \cdot x^{2}$ ein.
$y = \frac{1}{2} x^{2}$
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet $y = \frac{1}{2} x^{2}$ .
Hier gibt es verschiedene Lösungsansatze: Du kannst z.B: 3 Punkte ablesen und daraus die Funktion bestimmen oder den Öffnungsfaktor der Parabel bestimmen und dann mit einem weiteren Punkt die Funktion ausrechnen.

For this task you need the following basic knowledge: Funktionsterm aufstellen für Parabeln
Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.
Suche dir nun einen Punkt, den du gut vom Funktionsgraphen ablesen kannst und der nicht der Scheitelpunkt ist.
Es bietet sich der Punkt $P (2 | 6)$ an, da da die Parabel genau die Kästchen trifft.
Setze die Koordinaten des Punktes $P (2 | 6)$ in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt $S (0 | 0)$ ein.
$y = a \cdot x^{2}$
$6 = a \cdot 2^{2}$
Löse diese Gleichung nach $a$ auf!
$6 = a \cdot 4 | : 4$
$\frac{6}{4} = a$
$a = 1,5$
Der Öffnungsfaktor hat also den Wert $a = 1,5$ .
Aufstellen der Funktionsgleichung
Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung $y = a \cdot x^{2}$ ein.
Damit erhältst du $y = 1,5 x^{2}$ .
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also $y = 1,5 x^{2}$ .
Hier gibt es verschiedene Lösungsansatze: Du kannst z.B: 3 Punkte ablesen und daraus die Funktion bestimmen oder den Öffnungsfaktor der Parabel bestimmen und dann mit einem weiteren Punkt die Funktion ausrechnen.

Bestimme den Funktionsterm einer Parabel mit dem Scheitelpunkt $S (0 | 0)$ , die durch den Punkt $P (3 | - 1)$ geht.

For this task you need the following basic knowledge: Funktionsterm aufstellen für Parabeln
Hier berechnen wir den Funktionsterm, indem wir den Öffnungsfaktor bestimmen und mithilfe eines weiteren Punktes den Funktionsterm ausrechnen.
Um den Öffnungsfaktor der Parabel zu bestimmen benötigst du einen Punkt, der nicht der Scheitelpunkt ist. In der Angabe ist schon der Punkt $P (3 | - 1)$ gegeben.
Setze die Koordinaten des Punktes $P (3 | - 1)$ in die allgemeine Form für die Parabel mit dem Scheitelpunkt $S (0 | 0)$ ein.
$y = a \cdot x^{2}$
$- 1 = a \cdot 3^{2}$
Löse diese Gleichung nach $a$ auf!
$- 1 = a \cdot 9 | : 9$
$- \frac{1}{9} = a$
Der Öffnungsfaktor hat also den Wert $a = - \frac{1}{9}$ .
Aufstellen der Funktionsgleichung
Setze nun den Wert für den Öffnungsfaktor in die allgemeine Funktionsgleichung $y = a \cdot x^{2}$ ein.
Damit erhältst du $y = - \frac{1}{9} x^{2}$ .
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also $y = - \frac{1}{9} x^{2}$ .
Hier gibt es verschiedene Lösungsansatze: Du kannst z.B: 3 Punkte ablesen und daraus die Funktion bestimmen oder den Öffnungsfaktor der Parabel bestimmen und dann mit einem weiteren Punkt die Funktion ausrechnen.
13
Lies aus nachstehender Abbildung mögliche Funktionsterme der Funktionen $f$ , $g$ und $h$ ab.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung $f (x) = g (x)$ .

For this task you need the following basic knowledge: Bestimmen der Funktionsgleichung
Bestimmen der Funktionsgleichung und der Schnittpunkte
Der Scheitel befindet sich bei (-1/3).
Den Scheitel und den Streckfaktor (-1, weil nach unten geöffnet) aus der Zeichnung ablesen und in die Scheitelform übertragen.
$f (x) = - (x + 1)^{2} + 3$
Scheitel befindet sich bei (1/-1).
Den Scheitel und den Streckfaktor (0,5) aus der Zeichnung ablesen und in die Scheitelform übertragen.
$g (x) = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)^{2} - 1$
Scheitel befindet sich bei (1,5/0).
Den Scheitel und den Streckfaktor (1) aus der Zeichnung ablesen und in die Scheitelform übertragen.
$h (x) = (x - 1,5)^{2}$
Schnittpunkte
$f (x) = g (x)$
$- (x + 1)^{2} + 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)^{2} - 1$
Binomische Formel anwenden
$- (x^{2} + 2 x + 1) + 3 = \frac{1}{2} (x^{2} - 2 x + 1) - 1$
Klammern auflösen und vereinfachen.
$- x^{2} - 2 x - 1 + 3 = \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2} - 1$
Gleichung umstellen.
$- x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + x + 2 \frac{1}{2} = 0$
Vereinfachen.
$- \frac{3}{2} x^{2} - x + 2 \frac{1}{2} = 0$
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot \frac{5}{2}}}{2 \cdot (- \frac{3}{2})} = \frac{1 - 4}{- 3} = 1$
$x_{2} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4 \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot \frac{5}{2}}}{2 \cdot (- \frac{3}{2})} = \frac{1 + 4}{- 3} = - \frac{5}{3}$
$\Rightarrow 𝕃 = {1; - \frac{5}{3}}$

$f (0)$	$=$	$a \cdot (0 - k) \cdot (0 + 2)$
	↓	Setze $f (0) = - k$ ein.
$- k$	$=$	$a \cdot (0 - k) \cdot (0 + 2)$
	↓	Vereinfache.
$- k$	$=$	$a \cdot (- k) \cdot 2$
$- k$	$=$	$- 2 k a$	$: - 2 k$
	↓	Teile durch $- 2 k$ . Laut Angabe ist $k \neq 0$ . Also darfst du das.
$\frac{- k}{- 2 k}$	$=$	$a$
	↓	Kürze $- k$ .
$\frac{1}{2}$	$=$	$a$

$0$	$=$	$1 \cdot a - 1$	$+ 1$
$1$	$=$	$1 \cdot a$
$\Rightarrow f (x)$	$=$	$x^{2} - 1$

Exercises: Finding function terms

Funktionsterm aufstellen

Funktionsterm aufstellen

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Funktionsterme angeben

Aufstellen einer quadratischen Funktion

zuf1:

zuf2undf3:

Quadratische Gleichung

Aufstellen der Funktionsgleichung

Aufstellen der Funktionsgleichung

Aufstellen der Funktionsgleichung

Bestimmen der Funktionsgleichung und der Schnittpunkte

Schnittpunkte

$zu f_{1} :$

$zu f_{2} u n d f_{3} :$