Sine and Cosine function

Man sieht an den Schnittpunkten mit der x-Achse, dass für jedes $k\in \mathbb{Z}$ gilt:

$\sin\left(k\cdot\pi\right)=0$

Das heißt $\rightarrow\{…,-\pi,0,\pi,2\pi,3\pi,…\}$ sind die Nullstellen des Sinus.

Hier sieht man an den Schnittpunkten mit der x-Achse, dass für alle $k\in ℤ$ gilt:

$cos(\frac \pi{2}+k \cdot \pi)=0$

Das heißt $\rightarrow\{…,-\frac\pi2,\frac\pi2,\frac{3\pi}2,\frac{5\pi}2,…\}$ sind die Nullstellen vom Kosinus.

$\sin\left(\frac{4k+1}2\cdot\pi\right)=1\;\;\;\mathrm{für}\;k\in ℤ$,

das heißt $\{…,-\frac{7\pi}2,-\frac{3\pi}2,\frac\pi2,\frac{5\pi}2,\frac{9\pi}2,…\}$ sind die Maxima vom Sinus.

$\cos(2k\cdot\pi)=1\;\;\;\mathrm{mit}\;k\in$ ℤ,

das heißt $\{…, -4\pi,-2\pi,0{,}2\pi,4\pi,…\}$ sind die Maxima vom Kosinus.

$\sin\left(\frac{4k-1}2\cdot\pi\right)=-1\;\;\;\mathrm{für}\;k\in ℤ$

das heißt $\{…,-\frac{9\pi}2,-\frac{5\pi}2,-\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2,\frac{7\pi}2,…\}$ sind die Minima.

$\cos(2k\cdot\pi+\pi)=-1\;\;\;\mathrm{mit}\;k\in ℤ$

das heißt $\{…, -3\pi,-\pi,\pi,3\pi,5\pi,…\}$ sind die Minima.

Wenn man den Graphen der Sinusfunktion um $\frac\pi2$ nach links oder um $\frac{3\pi}2$ nach rechts verschiebt, ist er deckungsgleich mit dem Graphen der Kosinusfunktion.

Das heißt $\sin\left(x+\frac\pi2\right)=\cos\left(x\right)=\sin\left(x-\frac{3\pi}2\right)$.

Wenn man den Graphen der Kosinusfunktion um $\frac{3\pi}2$ nach links oder um $\frac\pi2$ nach rechts verschiebt, ist er deckungsgleich mit dem Graphen der Sinusfunktion.

Das heißt $\cos\left(x-\frac\pi2\right)=\sin\left(x\right)=\cos\left(x+\frac{3\pi}2\right)$.