Exercises: Linear functions and line equations

Finde den Funktionsgraphen, der zur Funktionsgleichung $y=\frac{5}{4}x-1$ gehört.

Bestimme daher zunächst den y-Achsenabschnitt.

$y(0)=\frac{5}{4}\cdot 0-1$

Multipliziere und subtrahiere.

$\frac{5}{4}\cdot 0-1=-1$

Gebe den y-Achsenabschnitt an.

Der y-Achsenabschnitt ist -1, der Graph schneidet also im Punkt (0,-1) die y-Achse. Somit können nur Graph 1 (rot) und Graph 2 (grün) zu der Funktion gehören.

Betrachte nun die Steigung der Graphen. Gib zuerst die Funktionsgleichung der Funktion an.

$y=\frac{5}{4}x-1$

Gib die Steigung der Funktion an, indem du sie von der Geradengleichung abliest.

$m=\frac{5}{4}$

Graph 1 (rot)

Bestimme die Steigung von Graph 1 (rot), indem du ein Steigungsdreieck konstruierst. Lies dazu den Wert an der Stelle $x_2=1$ ab.

$x_2=1$

$y_2=y(x_2)=-0.25$

Für die Konstruktion eines Steigungsdreieck benötigst du einen zweiten Punkt. Gib dazu den schon berechneten Punkt des y-Achsenabschnitts an.

$x_1=0$

$y_1=-1$

Berechne nun die Steigung gemäß $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

$m=\frac{-0.25-(-1)}{1-0}=\frac{0.75}{1}=0.75$

Die Steigung des Graphen ist offenbar zu klein, als dass Graph 1 (rot) der zugehörige Funktionsgraph sein könnte.

Graph 2 (grün)

Bestimme die Steigung von Graph 2 (grün), indem du ein Steigungsdreieck konstruierst. Lies dazu den Wert an der Stelle $x_2=1$ ab.

$x_2=1$

$y_2=y(x_2)=0.25$

Gib den Punkt des y-Achsenabschnitts an.

$x_1=0$

$y_1=-1$

Für die Konstruktion eines Steigungsdreieck benötigst du einen zweiten Punkt. Gib dazu den schon berechneten Punkt des y-Achsenabschnitts an.

$m=\frac{0.25-(-1)}{1-0}=\frac{1.25}{1}=1.25=\frac{5}{4}$

Ergebnis

Der zugehörige Graph ist Graph 2 (grün), da seine Steigung und sein y-Achsenabschnitt mit der Geradengleichung übereinstimmen.

You have to find the general form of a line equation:

The general equation of a straight line is $y=mx+t$.

$y$-axis intercept

Determine the y-axis intercept of the function graph 3 (blue).

The $y$-axis intercept is the function value at the intersection of the function graph with the $y$-axis, i.e. the function value $f(x)$ at $x=0$.

Read off the point where the function graph intersects the $y$-axis.

$(x,|f(x))=(0|1.25)$

Wrote down the y-axis intercept t.

$t=1.25$

Slope

Determine the slope/gradient of the function graph 3 (blue) using a gradient triangle and give the expression for the slope.

$${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Read off two points on graph 3 (blue) and then calculate the slope.

$x_1=0$

$y_1=y(x_1)=1.25$

$x_2=-1$

$y_2=y(x_2)=0.25$

Now calculate the slope $m$.

$${\displaystyle m=\frac{0.25-1.25}{-1-0}=\frac{-1}{-1}=1}$$

Result

The line equation of the function graph 3 (blue) is $${\displaystyle y(x)=x+1.25}$$ .