Exercises: Power Laws
- 1
Apply the power laws to simplify the following expressions:
32⋅31
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
32⋅31 = ↓ Use the power law ax⋅ay=ax+y with x=2,y=1,a=3.
= 32+1 ↓ Conclude the exponent.
= 33 Do you have a question?
42⋅49⋅4−12
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
42⋅49⋅4−12 = ↓ First apply the power laws to 42⋅49.
= 42+9⋅4−12 = 411⋅4−12 ↓ Now apply the power law to 411⋅4−12.
= 4−1 ↓ The term can be simplified even further by using the rule of the negative exponent, that is a−1=a1.
= 41 Do you have a question?
48⋅2−3⋅25⋅59
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
48⋅2−3⋅25⋅59 = ↓ Apply the power law ax⋅ay=ax+y to 2−3⋅25.
= 48⋅22⋅59 ↓ Write 22=2⋅2=4=41.
= 48⋅41⋅59 ↓ Apply the power law ax⋅ay=ax+y to 48⋅41.
= 49⋅59 ↓ Apply the power law ax⋅bx=(a⋅b)x.
= 209 Do you have a question?
(77)7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
(77)7 = ↓ Apply the power law (ax)y=ax⋅y.
= 77⋅7 ↓ Conclude the exponent
= 749 Do you have a question?
9−392:35
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
9−392:35 = ↓ Apply the power law ayax=ax−y to 9−392.
= 92−(−3):35 ↓ Summarize the exponent of 9.
= 95:35 ↓ Write a:b=ba.
= 3595 ↓ Use the power law bxax=(ba)x.
= (39)5 ↓ Conclude the base.
= 35 Do you have a question?
13313−3268262
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
13313−3268262 = ↓ Use the power law ayax=ax−y with base a=26.
= 13313−326−6 ↓ Use the power law ayax=ax−y with base a=13.
= 13−626−6 ↓ Use the power law bxax=(ba )x.
= (1326)−6 ↓ Conclude the base.
= 2−6 Do you have a question?
- 2
Conclude as far as possible.
a3:a6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
First Representation
a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅aa⋅a⋅a = ↓ Shorten by cancelling three factors of a.
= a⋅a⋅a1 = a31=a−3 Second Representation
a3:a6 = ↓ Apply the power laws.
= a3−6 = a−3 Do you have a question?
2x−2⋅3x3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Power laws
2x−2⋅3x3 = ↓ Use the commutative law to group numbers and variables together.
= 2⋅3⋅x−2⋅x3 ↓ Apply the power laws.
= 2⋅3⋅x−2+3 = 6x Do you have a question?
10−12:10−3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Power laws
10−12:10−3 = ↓ Apply the power laws.
= 10−12−(−3) = 10−9 Do you have a question?
6:23−9⋅3−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
6:23−9⋅3−2 = ↓ Write 9 as 32.
= 6:23−32⋅3−2 ↓ Apply the power laws.
= 6:8−32+(−2) = 6:8−30 = 0.75−1 = −0.25 Do you have a question?
x−n⋅x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
x−n⋅x = ↓ Write x as x1.
= x−n⋅x1 ↓ Apply the power laws.
= x−n+1 Alternative solution
x−n⋅x = ↓ Write x−n as xn1.
= xn1⋅x1 = xnx1 ↓ Apply the power laws.
= x1−n Do you have a question?
0.5x2+1.5x3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
This term cannot be simplified further, since two different powers occur. However, what one could do is factorizing the term:
0.5x2+1.5x3 = ↓ Factorize 0.5x2.
= 0.5x2(1+3x) Do you have a question?
(y−5y2x3y−4)−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
First apply the power laws. You may get the minus out of the exponent by "flipping" the fractions like x−2=x21.
(y−5y2x3y−4)−2 = (x3y−4y−5y2)2 ↓ Apply the power laws.
= (x3y−4y−5+2)2 = (x3y−4y−3)2 ↓ Shorten by y−3.
= (x3y−11)2 ↓ Apply the power laws once more.
= (x3y)2 = x6y2 Do you have a question?
- 3
Find all terms that are equivalent to each other:
Term 1: x10
Term 2: x−6
Term 3: (x−2)4
Term 4: x5+x5
Term 5: (−x)6
Term 6: x−8
Term 7: x15:x5
Term 8: x−22⋅x16
Term 9: −x6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
Term 1:
x10
Term 2:
x−6
Term 3:
(x−2)4=x−2⋅4=x−8
Apply the power laws.
Term 4:
x5+x5=2x5
Term 5:
(−x)6=x6
The minus can be omitted here, because the power is even and (−1)2=1.
Term 6:
x−8
Term 7:
x15:x5=x15−5=x10
Apply the power laws.
Term 8:
x−22⋅x16=x−22+16=x−6
Apply the power laws.
Term 9:
−x6=−(x)6=−x6
Equivalent terms:
Term 1 and term 7 are both equal to x10.
Term 2 and term 8 are both equal to x6.
Term 3 and term 6 are both equal to x−8.
- 4
Simplify the following terms.
10⋅10−2:104+100
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
10⋅10−2:104+100 = ↓ Apply the power laws step by step on the left three terms.
= 101−2:104+100 = 10−1:104+1 = 10−1−4+1 = 10−5+1 ↓ For the sum, there is no power law. But you can conveniently express everything as a decimal number.
= 1.00001 Do you have a question?
x−1⋅x2⋅x0⋅x−3⋅x4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
x−1⋅x2⋅x0⋅x−3⋅x4 = ↓ Apply the power laws.
= x−1+2+0−3+4 = x2 Do you have a question?
10−1+10−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
10−1+10−2 = ↓ Convert into fractions.
= 101+1001 ↓ Get both fractions to a common denominator.
= 10010+1001 = 10011 Do you have a question?
x−1+x−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
x−1+x−2 = ↓ Apply the power laws.
= x1+x21 ↓ Get both fractions to a common denominator.
= x2x+x21 = x21+x Do you have a question?
x−2−x4x2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
x−2−x4x2 = ↓ Apply the power laws.
= x−2−x2−4 = x−2−x−2 = 0 Do you have a question?
(x1+x−2)⋅2x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Power Laws
(x1+x−2)⋅2x = ↓ Write as fractions.
= (x1+x21)⋅2x ↓ Multiply out.
= x2x+x22x ↓ You can still shorten these fractions.
= x2⋅x+x⋅x2⋅x = 2+x2 Do you have a question?
- 5
Simplify the following term using the power laws
a4⋅d−2⋅c9⋅a2⋅b6⋅d−9⋅c5Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
a4⋅d−2⋅c9⋅a2⋅b6⋅d−9⋅c5 = ↓ Conclude identical variables by applying the power laws.
= a4+2⋅b6⋅c9+5⋅d(−2)+(−9) = a6⋅b6⋅c14⋅d−11 ↓ Conclude.
= (ab)6⋅c14⋅d−11 - 6
Simplify the following expressions with integer exponents as far as possible.
(z2k−5:z3):zk
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Apply the power laws.
(z2k−5:z3):zk = (z2k−5−3):zk = z2k−8:zk = z2k−8−k = zk−8 Do you have a question?
90⋅3n−2−3n
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Write 90 as 32⋅10.
90⋅3n−2−3n = 10⋅32⋅3n−2−3n ↓ Apply the power laws.
= 10⋅32+n−2−3n = 10⋅3n−3n ↓ Factorize 3n.
= 3n⋅(10−1) = 9⋅3n ↓ Write 9 as 32.
= 32⋅3n ↓ Apply the power laws.
= 32+n Do you have a question?
[(4x)3]5:(2x)6 for x=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Apply the power laws.
[(4x)3]5:(2x)6 = (4x)3⋅5:(26x6) = (4x)15:(26x6) = (415x15):(26x6) = (415x15)⋅(x626) ↓ Write 26 as 43, so you can shorten.
= (415x15)⋅(x643) = 412x9 Do you have a question?
(1−3a)2k+1(3a−1)2k−1 for a=31
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Factorize (−1).
(1−3a)2k+1(3a−1)2k−1 = (−3a+1)2k+1(−1)2k−1(−3a+1)2k−1 ↓ Divide and apply the power laws.
= (−1)2k−1(−3a+1)2k−1−(2k+1) ↓ Multiply out.
= (−1)2k−1(−3a+1)2k−1−2k−1 = (−1)2k−1(−3a+1)−2 ↓ A negative exponent corresponds to a fraction.
= (−1)2k−1⋅(−3a+1)21 = (−3a+1)2(−1)2k−1 = −(−3a+1)21 Do you have a question?
(cn+1d2n6a2b−2)3:[ab−12(cd)n⋅3ab−2cnd2n]−2 for a,b,c,d=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Apply the power laws.
(cn+1d2n6a2b−2)3:[ab−12(cd)n⋅3ab−2cnd2n]−2 = (c3n+3d6n63a6b−6):(2(cd)n⋅cnd2nab−1⋅3ab−2)2 = (c3n+3d6n⋅b663a6):(22(cd)2n⋅c2nd4na2b−2⋅32a2b−4) ↓ Convert division into multiplication by "flipping" the fraction.
= (c3n+3d6n⋅b663a6)⋅(a2b−2⋅32a2b−422(cd)2n⋅c2nd4n) ↓ Conclude.
= 9a4c3n+3d6n216a64c4nd6n = 9216a24cn−3 = 96a2cn−3 Do you have a question?
- (−y3)2b+5⋅[(−z)4]3b+3x2a+5:(yz)6b+10⋅[(−z)3]2b−1x2a
Assuming that x,y,z>0, b∈Z
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Since x is greater than 0, you can multiply by the reciprocal. For the value of
A=(−y3)2b+5⋅[(−z)4]3b+3x2a+5:(yz)6b+10⋅[(−z)3]2b−1x2a you then obtain
A = (−y3)2b+5⋅[(−z)4]3b+3x2a+5:(yz)6b+10⋅[(−z)3]2b−1x2a ↓ Multiply out
= (−y3)2b+5⋅[(−z)4]3b+3x2a+5⋅x2a(yz)6b+10⋅[(−z)3]2b−1 = (−y3)2b+5⋅(−z)4(3b+3)x2a+5⋅x2a(yz)6b+10⋅(−z)3(2b−1) = (−y)6b+15⋅(−z)12b+12x2a+5⋅x2a(yz)6b+10⋅(−z)6b−3 ↓ Factor out (−1).
= (−1)6b+15⋅y6b+15⋅(−1)12b+12⋅z12b+12x2a+5⋅x2a(yz)6b+10⋅(−1)6b−3⋅z6b−3 ↓ Decompose the (yz)6b+10.
= (−1)6b+15⋅y6b+15⋅(−1)12b+12⋅z12b+12x2a+5⋅x2ay6b+10⋅z6b+10⋅(−1)6b−3⋅z6b−3 = (−1)6b+15⋅(−1)12b+12x2a+5−2a⋅y6b+10−(6b+15)⋅z6b+10⋅(−1)6b−3⋅z6b−3−(12b+12) = (−1)6b+15⋅(−1)12b+12x2a+5−2a⋅y6b+10−6b−15⋅z6b+10⋅(−1)6b−3⋅z6b−3−12b−12 ↓ Resolve the bracket and simplify.
= (−1)6b+15⋅(−1)12b+12x5⋅y−5⋅z6b+10⋅(−1)6b−3⋅z−6b−15 = (−1)6b+15⋅(−1)12b+12x5⋅y−5⋅z6b+10−6b−15⋅(−1)6b−3 = (−1)6b+15⋅(−1)12b+12x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)6b−3 = (−1)6b+15+12b+12x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)6b−3 = (−1)18b+27x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)6b−3 ↓ The factors of (−1) can be shortened.
= 1x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)6b−3−(18b+27) = 1x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)−12b−30 = x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)−12b−30 = y5⋅z5x5⋅(−1)−12b−30 Since −12b−30 is even, you get (−1)−12b−30=1, so the final result reads y5z5x5 , or equivalently, (yzx)5.
Do you have a question?
(3ac−22a−1b2)−3 for a,b,c=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Apply the power laws.
(3ac−22a−1b2)−3 = 3−3a−3c62−3a3b−6 = 23c6b6a333a3 = 8c6b6a3⋅27a3 = 8b6c627a6 Do you have a question?
(vu)n⋅(uv)3n+4:(u−v)2n+1 for u,v=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Resolve the brackets using the power laws.
(vu)n⋅(uv)3n+4:(u−v)2n+1 = vnun⋅u3n+4v3n+4:u2n+1−v2n+1 ↓ Write the division as a fraction.
= u2n+1−v2n+1vnun⋅u3n+4v3n+4 ↓ Resolve the double fraction.
= vnun⋅u3n+4v3n+4⋅−v2n+1u2n+1 = vn⋅u3n+4⋅(−v2n+1)un⋅v3n+4⋅u2n+1 = u3n+4⋅(−1)⋅vn+2n+1un+2n+1⋅v3n+4 = u3n+1−(3n+4)⋅(−1)⋅v3n+4−(3n+1) ↓ Shorten by using the power laws.
= u−3⋅(−1)⋅v3 = u3(−1)⋅v3 = u3−v3 = −(uv)3 Do you have a question?
xm+2x5+1−xm2x2−2+xm−22−x for x=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Expand the second fraction by x2 to get a common denominator.
xm+2x5+1−xm2x2−2+xm−22−x = xm+2x5+1−xm+22x4−2x2+xm⋅x−22−x ↓ Apply the power laws to x−2.
= xm+2x5+1−xm+22x4−2x2+xm2x2−x3 ↓ Get to a common denominator.
= xm+2x5+1−xm+22x4−2x2+xm+22x4−x5 = xm+2x5+1−2x4+2x2+2x4−x5 = xm+21+2x2 Do you have a question?
(z+5z−3)2p+1⋅(z−35+z)p+1:(z+5z−3)4p for z∈{−5;3}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Apply the power laws.
(z+5z−3)2p+1⋅(z−35+z)p+1:(z+5z−3)4p = (z+5z−3)2p+1−4p⋅(z−35+z)p+1 = (z+5z−3)1−2p⋅(z−35+z)p+1 = (z+5z−3)1−2p⋅(z+5z−3)−(p+1) ↓ Resolve the bracket.
= (z+5z−3)1−2p⋅(z+5z−3)−p−1 ↓ Apply the power laws.
= (z+5z−3)1−2p+(−p)−1 = (z+5z−3)−3p = (z−3z+5)3p Do you have a question?
(1+t2)2⋅[t1−(2t−1)−1]−2 for t∈{−2;0;2}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Get the fraction in the rightmost round bracket on a common denominator.
(1+t2)2⋅[t1−(2t−1)−1]−2 = (1+t2)2⋅[t1−(2t−2)−1]−2 ↓ Apply the power laws.
= (1+t2)2⋅[t1−(t−22)]−2 ↓ Get the square bracket on a common denominator.
= (1+t2)2⋅[t(t−2)1(t−2)−t(t−2)t⋅2]−2 = (1+t2)2⋅[t(t−2)t−2−2t]−2 = (1+t2)2⋅[t(t−2)−t−2]−2 ↓ Apply the power laws.
= (1+t2)2⋅[−t−2t(t−2)]2 ↓ Get the round bracket on a common denominator.
= (tt+t2)2⋅[−t−2t(t−2)]2 = (t2+t)2⋅[−t−2t(t−2)]2 ↓ Apply the power laws to conclude both brackets.
= (t⋅(−t−2)(2+t)⋅t(t−2))2 ↓ Shorten by t.
= ((−t−2)(2+t)⋅(t−2))2 ↓ Factor out a (−1).
= (−1(t+2)(2+t)⋅(t−2))2 ↓ Shorten.
= (−1t−2)2 = (−(t−2))2 = (t−2)2 Do you have a question?
Re-formulate the expression to a single fraction that does not contain any negative exponents.
(x2y)34a−1z2:(xy2z)−2(2a)−3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Apply the power laws.
(x2y)34a−1z2:(xy2z)−2(2a)−3 = x6⋅y34⋅a1⋅z2:(xy2z)21(2a)31 ↓ Division can be done by "flipping the fraction".
= x6⋅y34⋅a1⋅z2⋅(2a)31(xy2z)−21 ↓ Resolve the double fraction.
= x6⋅y34⋅a1⋅z2⋅(xy2z)21⋅1(2a)3 = x6⋅y3a4z2⋅x2⋅y4⋅z28a3 = x6+2⋅y3+4⋅z2a4z2⋅8a3 ↓ Finally, shorten.
= x8y74⋅8a2 = x8y732a2 Do you have a question?
- 7
Write as a decimal number.
3⋅107
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
3⋅107 = 3⋅10 000 000 = 30 000 000
Do you have a question?
6.4⋅10−4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
6.4⋅10−4 = 6.4 ⋅0.0001 = 0.00064
Do you have a question?
1.6⋅10−6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
1.6⋅10−6 = 1.6 ⋅0.000001 = 0.0000016
Do you have a question?
7.4⋅109
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
7.4⋅109 = 7.4⋅1 000 000 000 = 7 400 000 000
Do you have a question?
- 8
We are looking for powers with negative or positive exponents. Mark all correct answers with a cross.
35 000 000 000
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
35 000 000 000 = 35 ⋅1 000 000 000 = 35 ⋅109 = 3.5 ⋅1010
Do you have a question?
470 000 000
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
470 000 000 = 47 ⋅10 000 000 = 47 ⋅107
Do you have a question?
0.0000001
0.0000054
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
There are two solutions:
0.0000054=5.4⋅10−6=54⋅10−7
Do you have a question?
- 9
Atoms are everywhere
A helium atom has a diameter of about 6⋅10−11 meters, and a hydrogen atom weighs about 1.7⋅10−27 kilograms.
The mass of Jupiter is about 1.899⋅1027kg , of which about 1.7⋅1027 is hydrogen.
What idea can you get of the size of atoms and their mass?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Ein Wasserstoffatom hat ungefähr den Durchmesser von 6 ⋅10−11m.
Die Zehnerpotenz kann man auch als Bruch schreiben. Das sieht dann so aus:
10−11 =100 000 000 0001 also sind 6 ⋅10−11m sechs einhundert Milliardstel Meter.
Stell dir vor, du würdest einen Millimeter auf dem Lineal nochmal in 100 Millionen Teile teilen. Davon nimmt man 6 Teile. Dann ist man bei der Größe eines Atoms.
Die Masse des Atoms beträgt 1.7 ⋅10−27kg.
Jetzt steht im Nenner des Bruchs eine 1 mit 27 Nullen. Diese Zahl nennt man auch Quadrilliarde. Ein Atom wiegt also ungefähr ein quadrilliardstel Kilogramm. Stell dir vor du nimmst einen gestrichenen Teelöffel mit Backpulver.
Dieser wiegt etwa 3 g, also wiegt ein halber Teelöffel etwa 1.5 g. Dieses kleine Häufchen Backpulver teilst du in eine Billionen Häufchen. Aber damit nicht getan. Eines dieser Häufchen teilst du nochmals in eine Billionen kleinere Häufchen. Die Masse eines dieser zwei Mal geteilten entspricht in etwa der Masse eines Wasserstoffatoms. Das ist eine unvorstellbar kleine Zahl!
Do you have a question?
Calculate the number of hydrogen atoms that Jupiter contains.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Powers
Die Masse des Wasserstoffanteils des Jupiters beträgt mJ=1.7 ⋅1027 kg und die Masse eines Wasserstoffatoms: mH=1.7 ⋅10−27kg.
Teilt man nun die Masse des Wasserstoffanteils im Jupiter durch die Masse eines Wasserstoffatoms, so erhält man die Anzahl an Atomen.
mHmJ=1.7⋅10−27 kg1.7⋅1027 kgAus diesem Bruch kann man die Einheit kg und die 1,7 direkt kürzen, da sie als Produkt im Zähler und im Nenner stehen.
mHmJ=1.7⋅10−27kg1.7⋅1027kg=10−271027Wende nun das Potenzgesetz zum Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis an
mHmJ=1.7⋅10−27 kg1.7⋅1027 kg=10−271027=1027−(−27)=1054Der Jupiter enthält also die unglaublich hohe Anzahl von 1054 Wasserstoffatomen!
Diese Zahl nennt man übrigens Nonillion.
Do you have a question?
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