Wird die Funktion $ff$ an der $xx$-Achse gespiegelt, erhältst du die Funktion $gg$.

Für die Spiegelung an der $xx$-Achse muss der Funktionsterm von $ff$ mit $(-1)(-1)$ multipliziert werden. Damit hat die Funktion $gg$ die Funktionsgleichung:

Nullstellenberechnung

Setze $f(x)=0f(x)=0$:

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}\cdot \sqrt{x+2}f(x)=\backslash dfrac\{x\}\{2\}\backslash cdot\backslash sqrt\{x+2\}$

Du hast die Gleichung $0={\displaystyle \frac{x}{2}}\cdot \sqrt{x+2}0=\backslash dfrac\{x\}\{2\}\backslash cdot\backslash sqrt\{x+2\}$ erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst. Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von ${\displaystyle \frac{x}{2}}\backslash dfrac\{x\}\{2\}$ und $\sqrt{x+2}\backslash sqrt\{x+2\}$ gleich $00$ ist, so ist $x=0x=0$ oder $\sqrt{x+2}=0\backslash sqrt\{x+2\}=0$.

Somit ist $x=0x=0$ und/oder $x=-2x=-2$.

Antwort: Die beiden Nullstellen der Funktion $ff$ sind $x_1=0x\_1=0$ und $x_2=-2x\_2=-2$.

Skalierung der Koordinatenachsen

Skalierung der $xx$-Achse

Die beiden Nullstellen werden in das Koordinatensystem der obigen Abbildung eingetragen und geben die Skalierung der $xx$-Achse vor.

Die beiden Nullstellen sind $x_1=0x\_1=0$ und $x_2=-2x\_2=-2$. Das Intervall $[-2;0][-2;0]$ auf der $xx$-Achse ist in zwei Abschnitte unterteilt, d.h. ein Abschnitt entspricht einer Einheit.

Damit kann die $xx$-Achse skaliert werden.

Skalierung der $yy$-Achse

Für die Skalierung der $yy$-Achse kann z.B. $f(1)f(1)$ berechnet werden.

Setze $x=1x=1$ in $f(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}\cdot \sqrt{x+2}f(x)=\backslash dfrac\{x\}\{2\}\backslash cdot\backslash sqrt\{x+2\}$ ein:

Die Funktion $f(x)f(x)$ hat für $x=1x=1$ etwa den Funktionswert $\mathrm{0,87}0\{,\}87$.

Damit kann auch die $yy$-Achse skaliert werden.

Die Funktion $ff$ ist von $x=-2x=-2$ (Nullstelle $N_{2}N\_2$) bis $x=1x=1$ gezeichnet. Der Definitionsbereich ist somit: ${\mathbb{D}}_f=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }-2\le x\le 1\}\backslash mathbb\; D\_f=\backslash \{x\backslash in\; \backslash mathbb\; R|-2\backslash leq\; x\backslash leq1\backslash \}$