Exercises: Computing vertices

Hier findest du Aufgaben zum Berechnen des Scheitelpunkts einer Parabel. Schaffst du sie alle?

1
Scheitelpunktform von Parabeln

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelform
Richtige Lösung
$y = 2 (x - 2)^{2} + 1$
$y = - (x - 2)^{2} + 1$
$y = (x + 2)^{2} + 3$
$y = (x - 3)^{2}$
$y = - (x + 3)^{2} - 1$
$y = 2 (x + 3)^{2} - 1$
2
Bestimme mithilfe der Scheitelform den jeweiligen Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.
Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).
$f (x) = {(x - 4)}^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
$f (x) = (x - 4)^{2}$
Die Funktionsgleichung befindet sich bereits in Scheitelform (Scheitelpunktsform): $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ .
Lies die Parameter $a, d, e$ vom gegebenen Graphen ab.
$a = 1$ , $d = 4$ und $e = 0$
Damit ergibt sich der Scheitelpunkt als $(d | e)$ .
$S = (d | e) = (4 | 0)$ .

$f (x) = {(3 + x + 2)}^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
$f (x) = (3 + x + 2)^{2}$
Vereinfache die Funktionsvorschrift.
$\begin{array}{l} f (x) = (3 + x + 2)^{2} \\ = (x + 5)^{2} \end{array}$
Die Funktion ist in Scheitelpunktform: $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ . Lies den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S = (- 5 | 0)$

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
Du kannst den Scheitelpunkt finden, indem du die Parabel auf Scheitelform bringst und daraus den Scheitelpunkt abliest:
$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$
Wende die 1. binomische Formel an.
$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} + 2 x + 1 \\ = {(x + 1)}^{2} \end{array}$
Die Funktion hat nun die Scheitelform.
Lies den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S = (- 1 | 0)$
3
Gib jeweils die Koordinaten des Scheitels an.
Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).
$f (x) = {(x - 2)}^{2} + 1$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
$f (x) = (x - 2)^{2} + 1$
Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform. Lies die Parameter $a$ , $d$ und $e$ aus der Formel der Scheitelform.
$a = 1$ , $d = 2$ und $e = 1$
Der Scheitelpunkt ergibt sich als $S (d | e)$ .
$\Rightarrow S (2 | 1)$

$f (x) = - 12 + {(x + 8)}^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform, es sind lediglich die beiden Summanden vertauscht. Vertausche deshalb zuerst die Summanden
$\begin{array}{l} f (x) = - 12 + (x + 8)^{2} \\ = {(x + 8)}^{2} - 12 \end{array}$
Lies die Parameter $a$ , $d$ und $e$ aus der Scheitelform ab.
$a = 1$ , $d = - 8$ und $e = - 12$ .
Den Scheitelpunkt erhältst du als $S (d | e)$
$\Rightarrow S (- 8 | - 12)$

$f (x) = x^{2} - 4 x + 4$

For this task you need the following basic knowledge: allgemeine Form und Scheitelform
In dieser Aufgabe kannst du entweder mit der Scheitelform oder allgemeinen Form rechnen.
1. Möglichkeit: Lösen anhand der Scheitelform
$f (x) = x^{2} - 4 x + 4$
Wende die 2. binomische Formel an.
$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} - 4 x + 4 \\ = {(x - 2)}^{2} \end{array}$
Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen, da die Funktion in Scheitelform ist.
$\Rightarrow S (2 | 0)$
2. Möglichkeit: Lösen anhand der allgemeinen Form
$f (x) = x^{2} - 4 x + 4$
Bestimme $a$ , $b$ und $c$ aus der allgemeinen Form.
$a = 1, b = - 4, c = 4$
Nun kannst du diese in die Formel $S (- \frac{b}{2 \cdot a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})$
einsetzen.
$S (- \frac{(- 4)}{2 \cdot 1} | 4 - \frac{(- 4)^{2}}{4 \cdot 1})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S (2 | 0)$

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$

For this task you need the following basic knowledge: allgemeine Form und Scheitelform
1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform
$f (x)$ $=$ $x^{2} + 2 x - 3$
↓
Ergänze die Funktion quadratisch.
$=$ $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3$
↓
Benutze die 1. binomische Formel.
$=$ ${(x + 1)}^{2} - 4$
Da die Parabel jetzt in Scheitelform ist, kannst du den Scheitelpunkt ablesen.
$\Rightarrow S (- 1 | - 4)$
2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form
$x^{2} + 2 x - 3$
Bestimme $a$ , $b$ , $c$ aus der allgemeinen Form.
$a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 3$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S (- \frac{2}{2 \cdot 1} | - 3 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S (- 1 | - 4)$

$f (x) = {(3 - x)}^{2}$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
In dieser Aufgabe ist die Parabel schon beinahe in Scheitelform gegeben; die restlichen nötigen Umformungen lauten:
$f (x)$ $=$ ${(3 - x)}^{2}$
↓
Klammere (-1) aus.
$=$ ${((- 1) (x - 3))}^{2}$
↓
Quadriere die einzelnen Faktoren.
$=$ ${(x - 3)}^{2}$
Lies den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S (3 | 0)$
4
Scheitelpunkt Memory
Decke die passenden Paare auf. Wie schnell schaffst du es?

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt
Richtige Lösung
$y = 2 (x - 2)^{2} + 1$
$y = - (x - 2)^{2} + 1$
$y = (x + 2)^{2} + 3$
$y = (x - 3)^{2}$
$y = - (x + 3)^{2} - 1$
$y = 2 (x + 3)^{2} + 1$

Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$f (x) = 3 {(x - 2)}^{2} - 4$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
Gegeben ist $f (x) = 3 (x - 2)^{2} - 4$
Die Funktion $f (x)$ liegt bereits in Scheitelform vor. Lies die Parameter $a$ , $d$ und $e$ der Scheitelform ab.
$a = 3$ , $d = 2$ und $e = - 4$
Dann ist $S (d | e)$ der Scheitelpunkt von $f$ .
$\Rightarrow S (2 | - 4)$
$f (x) = 2 ({(x + 1,5)}^{2} + 1)$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
$f (x)$ $=$ $2 ({(x + 1,5)}^{2} + 1)$
$=$ $2 {(x + 1,5)}^{2} + 2$
Lies den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S (- 1,5 | 2)$

$f (x) = 2 x^{2} - 4,8 x + 0,88$

$f (x) = (x - 2) (x + 3)$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform
$f (x)$ $=$ $(x - 2) (x + 3)$
↓
Multipliziere aus
$=$ $x^{2} + x - 6$
↓
Ergänze quadratisch.
$=$ $x^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} x + (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} - 6$
↓
Verwende die 1. binomische Formel
$=$ ${(x + 0,5)}^{2} - 6,25$
Lies nun den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S (- \frac{1}{2} | - 6 \frac{1}{4})$
2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form
$f (x)$ $=$ $(x - 2) (x + 3)$
↓
Multipliziere aus.
$=$ $x^{2} + x - 6$
Bestimme $a$ , $b$ , $c$ aus der allgemeinen Form.
$a = 1$ , $b = 1$ , $c = - 6$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S (- \frac{1}{2 \cdot 1} | - 6 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S (- \frac{1}{2} | - 6 \frac{1}{4})$

6
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f (x) = x^{2} + 4 x - 5$ anhand deren Nullstellen.
Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Parabel
$f (x) = x^{2} + 4 x - 5$
Berechne die Nullstellen von $f$ , z.B. mit der PQ-Formel:
$x = - 2 \pm \sqrt{2^{2} - (- 5)}$
$= - 2 \pm \sqrt{9}$
$= - 2 \pm 3 \in {- 5, 1}$
Da $f$ ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen. Somit sind $- 5$ und $1$ genau die Nullstellen von $f$ .
$f (x) = 0 \Leftrightarrow$
$x^{2} + 4 x - 5 = 0 \Leftrightarrow$
$x \in {- 5,1}$
Der $x$ -Wert $x_{s}$ des Scheitels liegt genau mittig zwischen diesen beiden Nullstellen.
Also ist $x_{s} = \frac{- 5 + 1}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$ .
Bestimme nun den $y$ -Wert des Scheitels, indem du den $x$ -Wert $x_{s}$ in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt:
$\begin{array}{rcl} f (x_{s}) & = & f (- 2) \\ = & (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) - 5 \\ = & 4 - 8 - 5 \\ = & - 9 \end{array}$
Der Scheitelpunkt von $f$ ist also $S = (- 2 | - 9)$ .
7
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f (x) = - 2 x^{2} + 6 x - 2,5$ anhand ihrer Nullstellen.
Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Parabel
$f (x) = - 2 x^{2} + 6 x - 2,5$
Berechne die Nullstellen von $f$ , z.B. mit der Mitternachtsformel:
$\begin{array}{rcl} x_{1 / 2} & = & \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2,5)}}{2 \cdot (- 2)} \\ = & \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 4} \\ = & \frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 4} \\ = & \frac{- 6 \pm 4}{- 4} \\ ⟹ x_{1} & = & \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{5}{2} \end{array}$
Da $f$ ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen.
Die Nullstellen von $f$ sind also $0,5$ und $2,5$ .
Der $x$ -Wert des Scheitels $x_{s}$ liegt genau in der Mitte dieser beiden Nullstellen.Die Zahl $1,5$ liegt zwischen $0,5$ und $2,5$ .
Also ist $x_{s} = \frac{0,5 + 2,5}{2} = \frac{2}{3} = 1,5$ .
Bestimme nun den $y$ -Wert des Scheitels, indem du den $x$ -Wert in die Funktionsgleichung von $f$ einsetzt.
$f (x_{s}) = f (0) = - 2 \cdot (1,5)^{2} + 6 \cdot 1,5 - 2,5 = 2$
Der Scheitelpunkt von $f$ ist demnach $S = (1,5 | 2)$ .
8
Gib die Koordinaten des Scheitels folgender Funktionen an.
Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).
$g_{1} : x \mapsto x^{2} - 2$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
$g_{1} (x) = x^{2} - 2$
Die Funktion ist schon in Scheitelpunktform gegeben. Lies den Scheitelpunkt ab.
$\Rightarrow S = (0 | - 2)$

$g_{2} : x \mapsto x^{2} + 1,2 - 0,4$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
$g_{2} (x) = x^{2} + 1,2 - 0,4$
Vereinfache den Term und lies den Scheitelpunkt ab.
$\begin{array}{l} g_{2} (x) = x^{2} + 1,2 - 0,4 \\ = x^{2} + 0,8 \end{array}$
$\Rightarrow S = (0 | 0,8)$

Bestimme den Scheitelpunkt:

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

$f (x) = x^{2} - 3 x - \frac{3}{4}$ (mit quadratischer Ergänzung)

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 3 x - \frac{3}{4}$
↓
Ergänze quadratisch.
$=$ $x^{2} - 2 \cdot 1,5 x + {1,5}^{2} - {1,5}^{2} - \frac{3}{4}$
↓
Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
$=$ ${(x - 1,5)}^{2} - 2,25 - \frac{3}{4}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ ${(x - 1,5)}^{2} - 3$
↓
Lies den Scheitel ab.
$\Rightarrow S (1,5 | - 3)$

$f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 6 x - 11$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 24$ (mit Hilfe der Nullstellen)

$f (x) = - 2 x^{2} + 8 x + 10$

$f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 18$

$f (x) = - 5 x^{2} - x - 2$

$f (x) = 2 x + 0,1 x^{2} - 10$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 4$

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} + 8 x$

$f (x) = \frac{5}{6} x^{2} + x - 1$

$f (x) = - 0,5 x^{2} + 20 x - 30$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
$f$ ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen $x_{1}, x_{2}$ . Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt $x_{s}$ aufgrund der Symmetrie von $f$ genau mittig zwischen ihnen: $x_{s} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .
Bestimme zunächst die Nullstellen von $f$ :
$f (x) = - 0,5 x^{2} + 20 x - 30 = 0$
Wende die Mitternachtsformel an.
$x_{1} = \frac{- 20 + \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 0,5) (- 30)}}{2 \cdot (- 0,5)} = + 20 - \sqrt{340}$
$x_{2} = \frac{- 20 - \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 0,5) (- 30)}}{2 \cdot (- 0,5)} = 20 + \sqrt{340}$
$x_{1}$ und $x_{2}$ sind damit reelle Zahlen und es gilt:
$x_{s} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{40}{2} = 20$
Setzt man den $x$ -Wert $x_{s}$ des Scheitelpunktes in die Funktionsvorschrift ein, so erhält man dessen $y$ -Wert:
$f (x_{s}) = f (20) = - 0,5 \cdot 20^{2} + 20 \cdot 20 - 30 = - 200 + 400 - 30 = 170$
$\Rightarrow S (20 | 170)$

$f (x) = - \frac{3}{4} x^{2} + x$

$f (x) = 10 x^{2} + 100$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt bestimmen
$f (x) = 10 \cdot x^{2} + 100$
An dieser Funktionsvorschrift kannst du den Scheitelpunkt sofort ablesen, da sie schon in Scheitelpunktform gegeben ist.
$\Rightarrow S (0 | 100)$

10
Gib die Scheitelform der Funktionsgleichung der abgebildeten Parabel $f$ an.

For this task you need the following basic knowledge: Parabel
Die Parabel $f$ hat ihren Scheitel im Punkt $(1 | 1)$ .
Die Funktionsgleichung ist also von der Form $f (x) = a (x - 1)^{2} + 1$ , wobei du $a$ noch zu bestimmen hast.
Wie du anhand der Graphik erkennen kannst, durchläuft $f$ auch den Punkt $(3 | 3)$ . Es gilt also:
$f (3)$ $=$ $3$
↓
Setze die Abbildungsvorschrift von $f$ ein.
$a (3 - 1)^{2} + 1$ $=$ $3$
↓
Vereinfache
$a \cdot 2^{2} + 1$ $=$ $3$ $- 1$
$4 a$ $=$ $2$ $: 4$
$a$ $=$ $0,5$
Somit ist $f (x) = 0,5 (x - 1)^{2} + 1$ .
11
Berechne den Scheitelpunkt folgender Funktionen mithilfe der Formel.
Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).
$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Funktion
$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ direkt ablesen kann.
$a = 1, b = 6, c = 9$
Nun kann man diese in die Formel
$S = (- \frac{b}{2 \cdot a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})$
einsetzen.
$S = (- \frac{6}{2 \cdot 1} | 9 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S = (- 3 | 0)$

$f (x) = x^{2} - 6 x + 10$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f (x) = x^{2} - 6 x + 10$
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kann.
$a = 1, b = - 6, c = 10$
Nun kannst du diese in die Formel
$S = (- \frac{b}{2 \cdot a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})$
einsetzen.
$S = (- \frac{(- 6)}{2 \cdot 1} | 10 - \frac{(- 6)^{2}}{4 \cdot 1})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S = (3 | 1)$ .

$f (x) = 2 x^{2} + x - 3$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f (x) = 2 x^{2} + x - 3$
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ direkt ablesen kann.
$a = 2, b = 1, c = - 3$
Nun kann man diese in die Formel
$S = (- \frac{b}{2 \cdot a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})$
einsetzen.
$S = (- \frac{1}{2 \cdot 2} | - 3 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S = (- \frac{1}{4} | - \frac{25}{8})$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 15$
Die Funktion liegt bereits in der allgemeinen Form vor, sodass du die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ direkt ablesen kannst.
$a = 3, b = - 12, c = 15$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S = (- \frac{(- 12)}{2 \cdot 3} | 15 - \frac{(- 12)^{2}}{4 \cdot 3})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S = (2 | 3)$

$f (x) = 16 x^{2} - 8 x + 2$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f (x) = 16 x^{2} - 8 x + 2$
Die Funktion ist bereits in allgemeiner Form gegeben, sodass du die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kannst.
$a = 16, b = - 8, c = 2$
Diese setzt du in die Formel
$S = (- \frac{b}{2 \cdot a} | - \frac{b^{2}}{4 a})$
ein.
$S = (- \frac{- 8}{2 \cdot 16} | 2 - \frac{(- 8)^{2}}{4 \cdot 16})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S = (\frac{1}{4} | 1)$

$f (x) = - 6 x^{2} - 24 x - 29$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f (x) = - 6 x^{2} - 24 x - 29$
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ direkt ablesen kann:
$a = - 6, b = - 24, c = - 29$
Nun kann man diese in die Formel
$S = (- \frac{b}{2 \cdot a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})$
einsetzen.
$S = (- \frac{- 24}{2 \cdot (- 6)} | - 29 - \frac{(- 24)^{2}}{4 \cdot (- 6)})$
Fasse zusammen, indem du die Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S = (- 2 | - 5)$

$f (x) = 2 (x^{2} - 4 x + 5)$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f (x) = 2 (x^{2} - 4 x + 5)$
Multipliziere aus.
$= 2 x^{2} - 8 x + 10$
Bestimme $a$ , $b$ , $c$ aus der allgemeinen Form.
$a = 2$ , $b = - 8$ , $c = 10$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S = (- \frac{(- 8)}{2 \cdot 2} | 10 - \frac{(- 8)^{2}}{4 \cdot 2})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S = (2 | 2)$

$f (x) = x (x - 2) + 6$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f (x) = x (x - 2) + 6$
Ausmultiplizieren
$= x^{2} - 2 x + 6$
Bestimme $a$ , $b$ , $c$ aus der allgemeinen Form.
$a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 6$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S = (- \frac{(- 2)}{2 \cdot 1} | 6 - \frac{(- 2)^{2}}{4 \cdot 1})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S (1 | 5)$

$f (x) = x^{2} + \frac{1}{9} (6 x - 26)$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f (x) = x^{2} + \frac{1}{9} (6 x - 26)$
Multipliziere aus und fasse zusammen.
$= x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{26}{9}$
Bestimme $a$ , $b$ , $c$ aus der allgemeinen Form.
$a = 1$ , $b = \frac{2}{3}$ , $c = - \frac{26}{9}$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S = (- \frac{\frac{2}{3}}{2 \cdot 1} | - \frac{26}{9} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S = (- \frac{1}{3} | - 3)$

$f (x) = (x - 2) (x + 2)$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Funktion
Gegeben:
$f (x) = (x - 2) (x + 2)$
Multipliziere aus und fasse zusammen.
$= x^{2} - 4$
Bestimme $a$ , $b$ , $c$ aus der allgemeinen Form.
$a = 1$ , $b = 0$ , $c = 4$
Setze $a$ , $b$ , $c$ in die Formel ein.
$S = (- \frac{0}{2 \cdot 1} | 4 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1})$
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
$\Rightarrow S = (0 | 4)$
12
Die Firma Habmichgern soll eine Brücke planen. Die Länge soll $60 m$ betragen. Der Chef der Firma bittet dich, mithilfe der folgenden Funktionsgleichung die maximale Höhe der Brücke zu berechnen.
$f (x) = - 0,02 \cdot x^{2} + 1,2 \cdot x$
m

For this task you need the following basic knowledge: Extremwertbestimmung durch quadratische Ergänzung
Die Idee hinter den Lösungsmethoden ist, dass der Scheitelpunkt $S$ der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel ist. Dass dies eine nach unten geöffnete Parabel ist, lässt sich an dem negativen Koeffizienten $(- 0,02)$ erkennen. Du lernst hier zwei Wege, um an diesen Punkt zu kommen.
1. Lösungsmethode
Scheitelpunkt herausfinden
Der Ansatz dieses Lösungsweges ist es, die Funktion in die Scheitelpunktsform umzuformen.
Die Scheitelpunktsform lautet: $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ .
$f (x) = - 0,02 x^{2} + 1,2 x$
Du kannst zunächst $- 0,02$ ausklammern. Dies ist dein $a$ .
$f (x) = - 0,02 \cdot (x^{2} - 60 x)$
Du kannst nun den Wert für $d$ bestimmen, indem du die zweite binomische Formel anwendest.
Multipliziere $(x - d)^{2}$ in der Scheitelpunktsform aus.
Du erhältst:
Du kannst dir nun mithilfe von quadratischer Ergänzung den Term zu einer binomischen Formel konstruieren.
Quadratische Ergänzung:
$x^{2} - 60 x$ ist der erste Teil deiner binomischen Formel, also $x^{2} - 2 d x$ . Demnach ist $d = \frac{60}{2} = 30$ .
Jetzt kannst du deine binomische Formel vervollständigen:
Doch damit du den Wert des Funktionsterms nicht verfälschst, musst du $30^{2}$ auch wieder abziehen.
Der vollständige Term lautet:
Setze den Term in den Funktionsterm ein:
$f (x) = - 0,02 \cdot ((x - 30)^{2} - 30^{2})$
$f (x) = - 0,02 \cdot ((x - 30)^{2} - 900)$
Multipliziere die Klammer aus.
$f (x) = - 0,02 \cdot (x - 30)^{2} + 18$
Lösung
Nun hast du die Scheitelpunktform, an dieser kannst du den Scheitelpunkt ablesen.
Die $y$ -Koordinate ist die Höhe des Brückenbogens, da der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel ist.
Also gilt: $h = 18 m$ .
2. Lösungmethode
Ausnutzen der Achsensymmetrie
Der Brückenbogen $f (x)$ ist an einer Senkrechte $t$ durch den Scheitelpunkt $S (x | y)$ achsensymmetrisch. Das kannst du ausnutzen.
Dafür musst du zuerst die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts herausfinden. Wenn du die hast, kannst du auch die $y$ -Koordiante ausrechnen.
Finde die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts.
Der Scheitelpunkt befindet sich in der Mitte der $60 m$ langen Brücke. Also rechnest du:
$x = \frac{60}{2} = 30$
$x = \frac{60}{2} = 30$
$\Rightarrow$ $S (30 | y)$
Setze 30 für $x$ in der Funktion $f (x)$ ein.
$f (x) = - 0,02 x^{2} + 1,2 x$
$f (30) = - 0,02 \cdot 30^{2} + 1,2 \cdot 30$
$y = f (30) = - 0,02 \cdot 30^{2} + 1,2 \cdot 30$
Löse die Funktion nach $y$ auf.
$y = - 0,02 \cdot 30^{2} + 1,2 \cdot 30$
$y = - 18 + 36$
$y = 18$
Nun kannst du $y$ in $S$ einsetzen.
$S (30 | y)$
$\Rightarrow S (30 | 18)$
Lösung
$S (30 | 18)$
Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts $S$ ist die maximale Höhe des Brückenbogens.
Das heißt:
Die Brücke ist an ihrem höchsten Punkt 18 Meter hoch.

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 2 x - 3$
	↓	Ergänze die Funktion quadratisch.
	$=$	$x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3$
	↓	Benutze die 1. binomische Formel.
	$=$	${(x + 1)}^{2} - 4$

$f (x)$	$=$	${(3 - x)}^{2}$
	↓	Klammere (-1) aus.
	$=$	${((- 1) (x - 3))}^{2}$
	↓	Quadriere die einzelnen Faktoren.
	$=$	${(x - 3)}^{2}$

$f (x)$	$=$	$2 ({(x + 1,5)}^{2} + 1)$
	$=$	$2 {(x + 1,5)}^{2} + 2$

$f (x)$	$=$	$2 x^{2} - 4,8 x + 0,88$
	↓	Klammere $2$ vor den $x$ -Termen aus.
	$=$	$2 (x^{2} - 2,4 x) + 0,88$
	↓	Ergänze quadratisch mit ${1,2}^{2}$ .
	$=$	$2 (x^{2} - 2 \cdot 1,2 x + {1,2}^{2} - {1,2}^{2}) + 0,88$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$2 (x^{2} - 2 \cdot 1,2 x + {1,2}^{2}) - 2,88 + 0,88$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$2 (x^{2} - 2 \cdot 1,2 x + {1,2}^{2}) - 2$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$2 {(x - 1,2)}^{2} - 2$
	$=$

$f (x)$	$=$	$(x - 2) (x + 3)$
	↓	Multipliziere aus
	$=$	$x^{2} + x - 6$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$x^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} x + (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} - 6$
	↓	Verwende die 1. binomische Formel
	$=$	${(x + 0,5)}^{2} - 6,25$

$f (x)$	$=$	$(x - 2) (x + 3)$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$x^{2} + x - 6$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 3 x - \frac{3}{4}$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$x^{2} - 2 \cdot 1,5 x + {1,5}^{2} - {1,5}^{2} - \frac{3}{4}$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
	$=$	${(x - 1,5)}^{2} - 2,25 - \frac{3}{4}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	${(x - 1,5)}^{2} - 3$
	↓	Lies den Scheitel ab.

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{4} x^{2} + 6 x - 11$
	↓	Klammere aus.
	$=$	$- \frac{1}{4} (x^{2} - 24 x) - 11$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$- \frac{1}{4} (x^{2} \cdot 2 \cdot 12 x + 12^{2} - 12^{2}) - 11$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$- \frac{1}{4} (x^{2} - 2 \cdot 12 x + 12^{2}) + 36 - 11$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- \frac{1}{4} (x^{2} - 2 \cdot 12 x + 12^{2}) + 25$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen
	$=$	$- \frac{1}{4} {(x - 12)}^{2} + 25$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 24$
	↓	Berechne die Nullstellen mit der Mitternachtsformel.
$x$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 0,5 \cdot 24}}{2 \cdot 0,5}$
	↓	Der Mittelpunkt der beiden Nullstellen ist der Scheitelpunkt : $\frac{- 12 + 4}{2} = \frac{- 8}{2} = - 4$ .
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{1}$
	↓	Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunktes.
	$=$	$- 4 \pm 8$
$f (- 4)$	$=$	$0,5 \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot (- 4) - 24$
	$=$	$- 32$

$f (x)$	$=$	$- 2 x^{2} + 8 x + 10$
	↓	Klammere die $- 2$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$- 2 (x^{2} - 4 x) + 10$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $4$ .
	$=$	$- 2 (x^{2} - 4 x + 2^{2} - 2^{2}) + 10$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$- 2 [{(x - 2)}^{2} - 4] + 10$
	↓	Löse die eckige Klammer auf.
	$=$	$- 2 {(x - 2)}^{2} + 8 + 10$
	↓	Bringe den Term auf Scheitelform.
	$=$	$- 2 {(x - 2)}^{2} + 18$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 4$	$=$	$0$
	↓	Bestimme mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen dieser Gleichung.
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 3 + \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 0,5 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 0,5}$
	↓	Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den beiden Nullstellen: $x_{s} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$ Setzt man diesen $x$ -Wert in die Funktionsgleichung ein, so bekommt man den $y$ -Wert des Scheitelpunktes:
$x_{1}$	$=$	$- 3 + \sqrt{17}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 3 - \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 0,5 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 0,5}$
$x_{2}$	$=$	$- 3 - \sqrt{17}$

$f (3)$	$=$	$3$
	↓	Setze die Abbildungsvorschrift von $f$ ein.
$a (3 - 1)^{2} + 1$	$=$	$3$
	↓	Vereinfache
$a \cdot 2^{2} + 1$	$=$	$3$	$- 1$
$4 a$	$=$	$2$	$: 4$
$a$	$=$	$0,5$

$f (x)$	$=$	$3 x^{2} - 4 x + 18$
	↓	Klammere $3$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$3 (x^{2} - \frac{4}{3} x) + 18$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $\frac{𝟒}{𝟑}$ .
	$=$	$3 (x^{2} - \frac{4}{3} x + {(\frac{2}{3})}^{2} - {(\frac{2}{3})}^{2}) + 18$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$3 [{(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}] + 18$
	↓	Löse die eckige Klammer auf.
	$=$	$3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{3} + 18$
	↓	Bringe den Term auf Scheitelform .
	$=$	$3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} + \frac{50}{3}$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$f (x)$	$=$	$- 5 x^{2} - x - 2$
	↓	Klammere $- 5$ aus.
	$=$	$- 5 (x^{2} + \frac{1}{5} x) - 2$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $\frac{1}{5}$ .
	$=$	$(- 5) \cdot (x^{2} + \frac{1}{5} x + {(\frac{1}{10})}^{2} - {(\frac{1}{10})}^{2}) - 2$
	↓	Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$- 5 ({(x + \frac{1}{10})}^{2} - {(\frac{1}{10})}^{2}) - 2$
	↓	Multpliziere die Klammer aus.
	$=$	$- 5 {(x + \frac{1}{10})}^{2} + \frac{5}{100} - 2$
	↓	Berechne die rechte Summe.
	$=$	$- 5 {(x + \frac{1}{10})}^{2} - \frac{39}{20}$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$f (x)$	$=$	$2 x + 0,1 x^{2} - 10$
	↓	Sortiere den Ausdruck nach Hochzahlen.
	$=$	$0,1 x^{2} + 2 x - 10$
	↓	Klammere $0,1$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$0,1 (x^{2} + 20 x) - 10$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von 20.
	$=$	$0,1 (x^{2} + 20 x + 10^{2} - 10^{2}) - 10$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$0,1 ({(x + 10)}^{2} - 100) - 10$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$0,1 {(x + 10)}^{2} - 10 - 10$
	↓	Bringe den Term auf die Scheitelform.
	$=$	$0,1 {(x + 10)}^{2} - 20$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$f (x)$	$=$	$\frac{2}{3} x^{2} + 8 x$
	↓	Klammere $\frac{2}{3}$ aus.
	$=$	$\frac{2}{3} (x^{2} + 12 x)$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\frac{2}{3} (x^{2} + 12 x + 6^{2} - 6^{2})$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\frac{2}{3} ({(x + 6)}^{2} - 36)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\frac{2}{3} {(x + 6)}^{2} - 24$
	↓	$f$ ist nun in Scheitelform. Damit kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$\frac{5}{6} x^{2} + x - 1$
	↓	Klammere $\frac{5}{6}$ aus.
	$=$	$\frac{5}{6} (x^{2} + \frac{6}{5} x - \frac{6}{5})$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\frac{5}{6} \cdot (x^{2} + \frac{6}{5} x + {(\frac{3}{5})}^{2} - {(\frac{3}{5})}^{2} - \frac{6}{5})$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\frac{5}{6} \cdot ({(x + \frac{3}{5})}^{2} - \frac{9}{25} - \frac{30}{25})$
	↓	Fasse die negativen Ausdrücke zusammen und multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\frac{5}{6} (x + \frac{3}{5})^{2} - \frac{5}{6} \cdot \frac{39}{25}$
	↓	Zusammenrechnen und kürzen
	$=$	$\frac{5}{6} (x + \frac{3}{5})^{2} - \frac{13}{10}$
	↓	Nun hast du $f$ in Scheitelform vorliegen und kannst daraus den Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$\frac{- 3}{4} x^{2} + x$
	↓	Null setzen.
$0$	$=$	$\frac{- 3}{4} x^{2} + x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$0$	$=$	$x (\frac{- 3}{4} x + 1)$
	↓	Eine Nullstelle ist also $x = 0$ . Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du $\frac{- 3}{4} x + 1 = 0$ weiter nach $x$ auflöst:
$\frac{- 3}{4} x$	$=$	$- 1$	$\cdot \frac{- 4}{3}$
$x$	$=$	$\frac{3}{4}$
	↓	Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau zwischen den beiden Nullstellen.

Exercises: Computing vertices

Scheitelpunktform von Parabeln

Richtige Lösung

1. Möglichkeit: Lösen anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösen anhand der allgemeinen Form

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

Scheitelpunkt Memory

Richtige Lösung

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

1. Lösungsmethode

Scheitelpunkt herausfinden

Lösung

2. Lösungmethode

Ausnutzen der Achsensymmetrie

Lösung