Exercises: Simple rational functions

In this exercise folder, we consider functions of the kind

f (x) = \frac{a}{x + b} + c

with $a \in ℝ ∖ {0}, b \in ℝ, c \in ℝ$ .

1
Zeichne die Graphen zu den Termen $f (x) = \frac{x}{x - 2}$ und $g (x) = \frac{1}{3} x$ in ein Koordinatensystem.
Bestimme rechnerisch die Nullstelle von f, denjenigen x-Wert mit $f (x) = - 3$ und die Schnittpunkte von f und g.

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Zeichnung
Bestimmung der Nullstelle
$f (x) = \frac{x}{x - 2}$
Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. $\to$ Setze den Zähler gleich $0$ , also $x = 0$ .
$\Rightarrow x_{N} = 0$
Der Graph hat bei $x_{N} = 0$ eine Nullstelle.
x-Wert mit $f (x) = - 3$
Setze $f (x) = - 3$
$\frac{x}{x - 2}$ $=$ $- 3$ $\cdot (x - 2)$
↓
Multipliziere über Kreuz.
$x$ $=$ $- 3 (x - 2)$
↓
Multipliziere aus.
$x$ $=$ $- 3 x + 6$ $+ 3 x$
$4 x$ $=$ $6$ $: 4$
$x$ $=$ $\frac{6}{4} = 1,5$
Für $x = 1,5$ nimmt $f (x)$ den Wert $- 3$ an.
Bestimmung der Schnittpunkte
$f (x) = \frac{x}{x - 2}$ , $g (x) = \frac{x}{3}$
Setze $f (x)$ und $g (x)$ gleich.
$f (x)$ $=$ $g (x)$
$\frac{x}{x - 2}$ $=$ $\frac{x}{3}$ $\cdot 3 (x - 2)$
↓
Multipliziere über Kreuz.
$3 x$ $=$ $x (x - 2)$
↓
Multipliziere aus.
$3 x$ $=$ $x^{2} - 2 x$ $- 3 x$
$x^{2} - 5 x$ $=$ $0$
↓
Klammer x aus.
$x (x - 5)$ $=$ $0$
Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
$\Rightarrow$ $x_{S 1} = 0 x_{S 2} = 5$
Setze $x_{S 2}$ in eine der beiden Funktionen ein.
$y_{S 2} = \frac{5}{3}$
$\Rightarrow S_{1} (0 | 0); S_{2} (5 | \frac{5}{3})$
In der Definitionsmenge von $f (x)$ muss nur $2$ ausgenommen werden, bei $g (x)$ sind alle rationalen Zahlen erlaubt.
Daher ist die Lösungsmenge: $L = {0; 5}$
2
Zeichne die Graphen der Funktionen $f : x \mapsto \frac{3}{x + 2}$ und $f_{1} : x \mapsto \frac{1}{2 - x}$
Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)

For this task you need the following basic knowledge: Bruchgleichungen
$f_{} : x \mapsto \frac{3}{x + 2}$
$f_{1} : x \mapsto \frac{1}{2 - x}$
Der Schnittpunkt liegt bei $(1 | 1)$ .
Rechnung
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme:
$\frac{3}{2 + x}$ $=$ $\frac{1}{2 - x}$
↓
Über Kreuz multiplizieren.
$3 \cdot (2 - x)$ $=$ $1 \cdot (2 + x)$
↓
Die Klammer ausmultiplizieren.
$6 - 3 x$ $=$ $2 + x$ $- 2 + 3 x$
↓
Nach $x$ auflösen.
$ 4$ $=$ $4 x$ $: 4$
$x$ $=$ $1$
$f_{} : x \mapsto \frac{3}{x + 2}$
Einsetzen von $x = 1$ in einen der Funktionsterme:
$y = \frac{1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1$
Also wurde auch rechnerisch gezeigt, dass der Schnittpunkt bei $(1 | 1)$ liegt.
3
Spiegeln, verschieben, stauchen
Zeichne den Graphen der Funktion $f (x) = \frac{3}{x}$ und bestimme damit die Graphen von $g (x) = - \frac{3}{x} - 2$ , $h (x) = \frac{3}{x + 1,5}$ und $k (x) = \frac{1,5}{x}$

For this task you need the following basic knowledge: einfache gebrochen-rationale Funktionen
$f (x) = \frac{3}{x}$
Setze verschiedene Werte für x ein und zeichne das Ergebnis ein. Bsp.: $x = 3; \to y = 1$
$g (x) = - \frac{3}{x} - 2$
$g (x) = - \frac{3}{x} - 2$ $\to$ Das Minus bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird. Die -2 verschieben den Graphen um 2 LE nach unten in y-Achsen Richtung.
$h (x) = \frac{3}{x + 1,5}$
Die hinzugefügte 1,5 im Nenner, bewirkt, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei x=-1,5 hat.
$k (x) = \frac{1,5}{x}$
Hier wurde der Zähler halbiert, also wird der ganze Ausdruck kleiner, also gestaucht.
4
Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ .
1) Gib zu den gegebenen Parametern $a$ , $b$ und $c$ die zugehörende gebrochen-rationale Funktionsgleichung an.
2) Beschreibe, wie der Graph deiner ermittelten Funktion aus dem Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hervorgeht.
3) Gib die Gleichungen der waagerechten und senkrechten Asymptoten von deiner ermittelten Funktion an und erläutere sie.
Funktion $f_{1} (x)$ : $a = 1$ , $b = 0$ und $c = 2$

For this task you need the following basic knowledge: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_{1} (x) = \frac{1}{x + 0} + 2 = \frac{1}{x} + 2$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{1} (x) = \frac{1}{x} + 2$
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{1} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $c = 2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{1} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $b = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3:
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{1} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y = 0$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung verschoben.
Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{1} (x)$ hat nun die Gleichung $y = 2$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{1} (x)$ ist weiterhin $x = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in x-Richtung erfolgt ( $b = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = 2$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ .

Funktion $f_{2} (x)$ : $a = 1$ , $b = 0$ und $c = - 3$

For this task you need the following basic knowledge: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_{2} (x) = \frac{1}{x + 0} - 3 = \frac{1}{x} - 3$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{2} (x) = \frac{1}{x} - 3$
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{2} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $c = - 3$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um drei Einheiten in negative y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{2} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $b = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3:
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{2} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um drei Einheiten in negative y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y = 0$ um drei Einheiten in negative y-Richtung verschoben. Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{2} (x)$ hat nun die Gleichung $y = - 3$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{2} (x)$ ist weiterhin $x = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in x-Richtung erfolgt ( $b = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = - 3$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ .

Funktion $f_{3} (x)$ : $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 0$

For this task you need the following basic knowledge: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_{3} (x) = \frac{1}{x + 1} + 0 = \frac{1}{x + 1}$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{3} (x) = \frac{1}{x + 1}$
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{3} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $b = 1$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um eine Einheit in negative x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{3} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $c = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3:
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{3} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um eine Einheit in negative x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x = 0$ um eine Einheit in negative x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{3} (x)$ hat nun die Gleichung $x = - 1$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{3} (x)$ ist weiterhin $y = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in y-Richtung erfolgt ( $c = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = - 1$ .

Funktion $f_{4} (x)$ : $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 0$

For this task you need the following basic knowledge: Asymptoten
Teilaufgabe 1
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow$
$f_{4} (x) = \frac{1}{x - 2} + 0 = \frac{1}{x - 2}$
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
$f_{4} (x) = \frac{1}{x - 2}$
Teilaufgabe 2
Vergleiche den Graphen der Funktion $f_{4} (x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ .
Antwort: Der Parameter $b = - 2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_{4} (x)$ zu erhalten. Die Parameter $a = 1$ und $c = 0$ führen zu keiner Veränderung von $G_{f}$ .
Teilaufgabe 3
Die Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_{4} (x)$ ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von $G_{f}$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x = 0$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_{4} (x)$ hat nun die Gleichung $x = 2$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_{4} (x)$ ist weiterhin $y = 0$ , da keine Verschiebung von $G_{f}$ in y-Richtung erfolgt ( $c = 0$ ).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y = 0$ und die senkrechte Asymptote $x = 2$ .
5
Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ .
Verschiebe den Graphen der Funktion $g (x) = \frac{2}{x + 1} + 2,5$ um $4$ Einheiten in negative x-Richtung und um $3,5$ Einheiten in negative y-Richtung. Der neue Graph gehört zu einer Funktion $h (x)$ .
1) Gib die Funktionsgleichung von $h (x)$ an.
2) Berechne die Schnittpunkte des Graphen von $h (x)$ mit den Koordinatenachsen.

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Teilaufgabe 1
Der Graph der Funktion $g (x)$ ist im Vergleich zum Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ um $1$ Einheit in negative x-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von $g (x)$ um weitere $4$ Einheiten in negative x-Richtung verschoben werden. Der Nenner der Funktion $h (x)$ muss also nun lauten: $x + 1 + 4 = x + 5$ .
Der Graph der Funktion $g (x)$ ist im Vergleich zum Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ um $2,5$ Einheiten in positive y-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von $g (x)$ um $3,5$ Einheiten in negative y-Richtung verschoben werden. Der Parameter $c$ lautet nun: $c = 2,5 - 3,5 = - 1$ .
Antwort: Die Funktionsgleichung $h (x)$ lautet somit: $h (x) = \frac{2}{x + 5} - 1$
Teilaufgabe 2
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $h (0)$ :
$h (0) = \frac{2}{0 + 5} - 1 = \frac{2}{5} - 1 = - \frac{3}{5} = - 0,6$
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T (0 | - 0,6)$ geschnitten.
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $h (x) = 0$ .
$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 5} - 1 & = & 0 & | + 1 \\ \frac{2}{x + 5} & = & 1 & | \cdot (x + 5) \\ 2 & = & 1 \cdot (x + 5) \\ 2 & = & x + 5 & | - 5 \\ x & = & - 3 \end{array}$
Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N (- 3 | 0)$ geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der türkisfarbige Graph $G_{g}$ gehört zur Funktion $g (x) = \frac{2}{x + 1} + 2,5$
Der lilafarbige Graph $G_{h}$ ist der um $4$ Einheiten nach links und um $3,5$ Einheiten nach unten verschobene Graph $G_{g}$ .
Eingezeichnet sind beim verschobenen Graphen $G_{h}$ die berechneten Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen $T (0 | - 0,6)$ und $N (- 3 | 0)$ .
Teilaufgabe 1
Überlege Dir, wie sich der Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion verändern muss, wenn der Graph dieser Funktion in negative x-Richtung verschoben werden soll. Wie ändert sich der Parameter $c$ bei einer Verschiebung des Graphen in negative y-Richtung?
Teilaufgabe 2
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne $h (0)$ . Für den Schnittpunkt mit der x-Achse löse die Gleichung $h (x) = 0$ .
6
Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $g (x) = \frac{1}{x + b} + c$
Bestimme die Werte der Parameter $b$ und $c$ so, dass die gebrochen-rationale Funktion folgende Eigenschaften hat.
Der Graph der Funktion $g_{1} (x)$ schneidet die y-Achse im Punkt $T (0 | 3)$ . Die x-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_{1} (x)$ ?

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Wenn du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ in positive oder negative x-Richtung verschiebst, wird die y-Achse geschnitten, die x-Achse hingegen nicht. Der Parameter $c$ , der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow c = 0$
Der Wert für den Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss berechnet werden.
Die Funktion $g_{1} (x)$ hat die Form:
$g_{1} (x) = \frac{1}{x + b}$
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $T (0 | 3)$ in die Funktionsgleichung von $g_{1} (x)$ ein und löse nach $b$ auf.
$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{1}{0 + b} \\ 3 & = & \frac{1}{b} & | \cdot b \\ 3 b & = & 1 & | : 3 \\ b & = & \frac{1}{3} \end{array}$
Antwort: Der Graph der Funktion $g_{1} (x) = \frac{1}{x + \frac{1}{3}}$ schneidet die y-Achse im Punkt $T (0 | 3)$ . Die x-Achse wird nicht geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Überlege dir, wie du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.

Der Graph der Funktion $g_{2} (x)$ schneidet die x-Achse im Punkt $N (- 2 | 0)$ . Die y-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_{2} (x)$ ?

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktion
Wenn du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ in positive oder negative y-Richtung verschiebst, wird die x-Achse geschnitten, die y-Achse hingegen nicht. Der Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow b = 0$
Der Wert für den Parameter $c$ , der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss berechnet werden.
Die Funktion $g_{2} (x)$ hat die Form:
$g_{2} (x) = \frac{1}{x} + c$
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $N (- 2 | 0)$ in die Funktionsgleichung von $g_{2} (x)$ ein und löse nach $c$ auf.
$\begin{array}{rcl} 0 & = & \frac{1}{- 2} + c \\ 0 & = & - \frac{1}{2} + c & | + \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & = & c \end{array}$
Antwort: Der Graph der Funktion $g_{2} (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$ schneidet die x-Achse im Punkt $N (- 2 | 0)$ . Die y-Achse wird nicht geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Überlege dir, wie du den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.
7
Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ .
Überprüfe rechnerisch, welche der gegebenen Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.
Hinweis: Bei der Eingabe deiner Lösung gib die Punktnummern durch Komma getrennt ein (z.B. so: 1,2,4). In diesem Fall würden die Punkte $P_{1}$ , $P_{2}$ und $P_{4}$ auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen, die Punkte $P_{3}$ und $P_{5}$ hingegen nicht. Es können bei jeder Teilaufgabe 1 bis 5 Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.
$f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$
$P_{1} (- 2 | 0,6); P_{2} (- 1 | 0,4); P_{3} (1 | 0); P_{4} (4 | 3); P_{5} (3,5 | 4)$

For this task you need the following basic knowledge: Funktionen
Setze $P_{1} (- 2 | 0,6)$ in $f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ein:
$\begin{array}{rcl} 0,6 & = & \frac{2}{- 2 - 3} + 1 \\ 0,6 & = & \frac{2}{- 5} + 1 \\ 0,6 & = & - 0,4 + 1 \\ 0,6 & = & 0,6 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{1}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{2} (- 1 | 0,4)$ in $f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ein:
$\begin{array}{rcl} 0,4 & = & \frac{2}{- 1 - 3} + 1 \\ 0,4 & = & \frac{2}{- 4} + 1 \\ 0,4 & = & - 0,5 + 1 \\ 0,4 & = & 0,5 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{2}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{3} (1 | 0)$ in $f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ein:
$\begin{array}{rcl} 0 & = & \frac{2}{1 - 3} + 1 \\ 0 & = & \frac{2}{- 2} + 1 \\ 0 & = & - 1 + 1 \\ 0 & = & 0 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{3}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{4} (4 | 3)$ in $f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ein:
$\begin{array}{rcl} 3 & = & \frac{2}{4 - 3} + 1 \\ 3 & = & \frac{2}{1} + 1 \\ 3 & = & 2 + 1 \\ 3 & = & 3 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{4}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{5} (3,5 | 4)$ in $f (x) = \frac{2}{x - 3} + 1$ ein:
$\begin{array}{rcl} 4 & = & \frac{2}{3,5 - 3} + 1 \\ 4 & = & \frac{2}{0,5} + 1 \\ 4 & = & 4 + 1 \\ 4 & = & 5 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{5}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $1,3,4$
Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.

$f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$
$P_{1} (- 5 | - 1,1); P_{2} (- 4 | - 1); P_{3} (- 2 | 1); P_{4} (1 | - 3,5); P_{5} (4 | - 2,6)$

For this task you need the following basic knowledge: Funktionen
Setze $P_{1} (- 5 | - 1,1)$ in $f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 1,1 & = & \frac{- 3}{- 5 + 1} - 2 \\ - 1,1 & = & \frac{- 3}{- 4} - 2 \\ - 1,1 & = & 0,75 - 2 \\ - 1,1 & = & - 1,25 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{1}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{2} (- 4 | - 1)$ in $f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 1 & = & \frac{- 3}{- 4 + 1} - 2 \\ - 1 & = & \frac{- 3}{- 3} - 2 \\ - 1 & = & 1 - 2 \\ - 1 & = & - 1 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{2}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{3} (- 2 | 1)$ in $f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} 1 & = & \frac{- 3}{- 2 + 1} - 2 \\ 1 & = & \frac{- 3}{- 1} - 2 \\ 1 & = & 3 - 2 \\ 1 & = & 1 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{3}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{4} (1 | - 3,5)$ in $f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 3,5 & = & \frac{- 3}{1 + 1} - 2 \\ - 3,5 & = & \frac{- 3}{2} - 2 \\ - 3,5 & = & - 1,5 - 2 \\ - 3,5 & = & - 3,5 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{4}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{5} (4 | - 2,6)$ in $f (x) = \frac{- 3}{x + 1} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 2,6 & = & \frac{- 3}{4 + 1} - 2 \\ - 2,6 & = & \frac{- 3}{5} - 2 \\ - 2,6 & = & - 0,6 - 2 \\ - 2,6 & = & - 2,6 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{5}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $2,3,4,5$
Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.

$f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} + 2$
$P_{1} (- 4 | - 2,5); P_{2} (- 3 | - 3); P_{3} (- 2 | - 5,5); P_{4} (- 1 | 1); P_{5} (1 | - 1,3)$

For this task you need the following basic knowledge: Funktionen
Setze $P_{1} (- 4 | - 2,5)$ in $f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 2,5 & = & \frac{1,5}{- 4 + 1,5} - 2 \\ - 2,5 & = & \frac{1,5}{- 2,5} - 2 \\ - 2,5 & = & - 0,6 - 2 \\ - 2,5 & = & - 2,6 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{1}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Weil f(-4) = -2,6 < -2,5 gilt, liegt der Punkt unterhalb des Graphen von f.
Setze $P_{2} (- 3 | - 3)$ in $f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 3 & = & \frac{1,5}{- 3 + 1,5} - 2 \\ - 3 & = & \frac{1,5}{- 1,5} - 2 \\ - 3 & = & - 1 - 2 \\ - 3 & = & - 3 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{2}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{3} (- 2 | - 5,5)$ in $f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 5,5 & = & \frac{1,5}{- 2 + 1,5} - 2 \\ - 5,5 & = & \frac{1,5}{- 0,5} - 2 \\ - 5,5 & = & - 3 - 2 \\ - 5,5 & = & - 5 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{3}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Weil f(-2) = -5 > -5,5 gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
Setze $P_{4} (- 1 | 1)$ in $f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} 1 & = & \frac{1,5}{- 1 + 1,5} - 2 \\ 1 & = & \frac{1,5}{0,5} - 2 \\ 1 & = & 3 - 2 \\ 1 & = & 1 & ✓ \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{4}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_{5} (1 | - 1,3)$ in $f (x) = \frac{1,5}{x + 1,5} - 2$ ein:
$\begin{array}{rcl} - 1,3 & = & \frac{1,5}{1 + 1,5} - 2 \\ - 1,3 & = & \frac{1,5}{2,5} - 2 \\ - 1,3 & = & 0,6 - 2 \\ - 1,3 & = & - 1,4 \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{5}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Weil f(1) = -1,4 < -1,3 gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $2,4$
Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
8
Die folgenden Bilder zeigen die Funktionsgraphen einer Funktion der Form
$f (x) = \frac{a}{x + b} + c_{}$
Bestimme die Parameter $a$ , $b$ und $c$ .

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 0$ liegt. Die Hyperbel wurde also nicht nach oben oder unten verschoben.
$\Rightarrow c = 0$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
$\Rightarrow b = 0$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 Längeneinheit nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 1$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x + 0} + 0 = \frac{a}{x}$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rcl} P (1 | 1) \Rightarrow f (1) & = & 1 \\ \frac{a}{1} & = & 1 \\ a & = & 1 \end{array}$
Lösung
$a = 1$ , $b = 0$ und $c = 0$
$\Rightarrow f (x) = \frac{1}{x}$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 2$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 2 Längeneinheiten nach oben verschoben.
$\Rightarrow c = 2$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
$\Rightarrow b = 0$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 Längeneinheit nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 4$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x + 0} + 2 = \frac{a}{x} + 2$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rrcl} P (1 | 6) \Rightarrow & f (1) & = & 6 \\ \frac{a}{1} + 2 & = & 6 & | - 2 \\ a & = & 4 \end{array}$
Lösung
$a = 4$ , $b = 0$ und $c = 2$
$\Rightarrow f (x) = \frac{4}{x} + 2$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = - 2$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 2 nach unten verschoben.
$\Rightarrow c = - 2$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = - 3$ . Die Hyperbel wurde also um 3 nach links verschoben.
$\Rightarrow b = 3$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 1$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x + 3} - 2$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rcl} P (- 2 | - 1) \Rightarrow f (- 2) & = & - 1 \\ \frac{a}{- 2 + 3} - 2 & = & - 1 \\ \frac{a}{1} & = & 1 \\ a & = & 1 \end{array}$
Lösung
$a = 1$ , $b = 3$ und $c = - 2$
$\Rightarrow f (x) = \frac{1}{x + 3} - 2$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 0$ liegt. Die Hyperbel wurde also nicht nach oben oder unten verschoben.
$\Rightarrow c = 0$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
$\Rightarrow b = 0$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 2$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x + 0} + 0 = \frac{a}{x}$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rcl} P (1 | 2) \Rightarrow f (1) & = & 2 \\ \frac{a}{1} & = & 2 \\ a & = & 2 \end{array}$
Lösung
$a = 2$ , $b = 0$ und $c = 0$
$\Rightarrow f (x) = \frac{2}{x}$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y = 1$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 1 nach oben verschoben.
$\Rightarrow c = 1$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = - 5$ . Die Hyperbel wurde also um 5 nach links verschoben.
$\Rightarrow b = 5$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = - 1$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x + 5} + 1$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rrcl} P (- 4 | 0) \Rightarrow & f (- 4) & = & 0 \\ \frac{a}{- 4 + 5} + 1 & = & 0 & | - 1 \\ \frac{a}{1} & = & - 1 \\ a & = & - 1 \end{array}$
Lösung
$a = - 1$ , $b = 5$ und $c = 1$
$\Rightarrow f (x) = \frac{- 1}{x + 5} + 1$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagerechte Asymptote bei $y = 3$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 3 nach oben verschoben.
$\Rightarrow c = 3$
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x = 6$ . Die Hyperbel wurde also um 6 nach rechts verschoben.
$\Rightarrow b = - 6$
Parameter a bestimmen
Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter $a$ ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist $a = 2$ .
Parameter $a$ berechnen
Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
$f (x) = \frac{a}{x - 6} + 3$
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
$\begin{array}{rrcl} P (7 | 5) \Rightarrow & f (7) & = & 5 \\ \frac{a}{7 - 6} + 3 & = & 5 & | - 3 \\ \frac{a}{1} & = & 2 \\ a & = & 2 \end{array}$
Lösung
$a = 2$ , $b = - 6$ und $c = 3$
$\Rightarrow f (x) = \frac{2}{x - 6} + 3$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $- b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
9
Zeichne die Graphen der folgenden gebrochen-rationalen Funktionen, indem du deren Asymptoten in ein Koordinatensystem zeichnest und eine passende Wertetabelle anfertigst.
$f (x) = \frac{1}{x} - 3$

For this task you need the following basic knowledge: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $f (x) = \frac{1}{x} - 3$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $g (x) = \frac{1}{x}$ hervor, indem du den Graph von g um $3$ nach unten verschiebst.
Die waagrechte Asymptote ist also $y = - 3$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $x = 0$ .
Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von $f$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x = 0$ muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
$x$
-5
-3
-1
0
1
3
5
$f (x)$
-3,2
$\approx$ -3,3
-4
undefiniert
-2
$\approx$ -2,7
-2,8
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.

$g (x) = \frac{1}{x + 4}$

For this task you need the following basic knowledge: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $g (x) = \frac{1}{x + 4}$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $f (x) = \frac{1}{x}$ hervor, indem du den Graph von f um $4$ nach links verschiebst.
Die waagrechte Asymptote ist also $y = 0$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $x = - 4$ .
Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von $g$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x = - 4$ muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
$x$
-9
-7
-5
-4
-3
-1
1
$g (x)$
-0,2
$\approx$ -0,3
-1
undefiniert
1
$\approx$ 0,3
0,2
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.

$h (x) = \frac{1}{x - 5}$

For this task you need the following basic knowledge: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $h (x) = \frac{1}{x - 5}$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $f (x) = \frac{1}{x}$ hervor, indem du den Graph von f um $5$ nach rechts verschiebst.
Die waagrechte Asymptote ist also $y = 0$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $x = 5$ .
Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von $h$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x = 5$ muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
$x$
0
2
4
5
6
8
10
$h (x)$
-0,2
$\approx$ -0,3
-1
undefiniert
1
$\approx$ 0,3
0,2
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.

$i (x) = \frac{1}{x} + 3,5$

For this task you need the following basic knowledge: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $i (x) = \frac{1}{x} + 3,5$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $f (x) = \frac{1}{x}$ hervor, indem du den Graph von f um $3,5$ nach oben verschiebst.
Die waagrechte Asymptote ist also $y = 3,5$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $x = 0$ .
Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von $i$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x = 0$ muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
$x$
-5
-3
-1
0
1
3
5
$i (x)$
3,3
$\approx$ 3,2
2,5
undefiniert
4,5
$\approx$ 3,8
3,7
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.

$j (x) = \frac{2}{x}$

For this task you need the following basic knowledge: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $j (x) = \frac{2}{x}$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $f (x) = \frac{1}{x}$ hervor, indem du den Graph von $f$ weitest. Die Asymptoten entsprechen somit denen von $f$ .
Die waagrechte Asymptote ist also $y = 0$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $x = 0$ .
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von $j$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x = 0$ muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
$x$
-5
-3
-1
0
1
3
5
$j (x)$
-0,4
$\approx$ -0,7
-2
undefiniert
2
$\approx$ -0,7
0,4
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.

$k (x) = \frac{- 3}{x}$

For this task you need the following basic knowledge: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $k (x) = \frac{- 3}{x}$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $f (x) = \frac{1}{x}$ hervor, indem du den Graph von f um den Ursprung punktspiegelst und weitest. Die Asymptoten bleiben also die gleichen.
Die waagrechte Asymptote ist also $y = 0$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $x = 0$ .
Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von $k$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x = 0$ muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
$x$
-5
-3
-1
0
1
3
5
$k (x)$
0,6
1
3
undefiniert
-3
-1
-0,6
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.

$l (x) = \frac{3}{x - 4} + 2$

For this task you need the following basic knowledge: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $l (x) = \frac{3}{x - 4} + 2$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $f (x) = \frac{3}{x}$ hervor, indem du den Graph von f,
um $2$ nach oben verschiebst und
um $4$ nach rechts verschiebst.
Die waagrechte Asymptote ist also $y = 2$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $x = 4$ .
Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von $l$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x = 4$ muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
$x$
-1
1
3
4
5
7
9
$l (x)$
1,4
1
-1
undefiniert
5
3
2,6
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.

$m (x) = \frac{- 1}{x + 1,5} - 2$

For this task you need the following basic knowledge: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $m (x) = \frac{- 1}{x + 1,5} - 2$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $f (x) = - \frac{1}{x}$ hervor, indem du den Graph von f,
um $2$ nach unten verschiebst und
um $1,5$ nach links verschiebst.
Die waagrechte Asymptote ist also $y = - 2$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $x = - 1,5$ .
Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von $m$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x = - 1,5$ muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
$x$
-6
-4
-2
-1,5
-1
1
3
$m (x)$
$\approx$ -1,8
-1,6
0
undefiniert
-4
-2,4
$\approx$ -2,2
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.
10
Gegeben sind gebrochen-rationalen Funktionen der Form:
$f (x) = \frac{a}{x + b} + c$
1 Gib an und begründe, welche Gleichung die waagerechte Asymptote und die senkrechte Asymptote der gebrochen-rationalen Funktion hat.
2 Zeichne die Asymptoten in ein Koordinatensystem ein.
3 Erstelle eine Wertetabelle im Bereich $x = - 5$ bis $x = 5$ für die gebrochen-rationale Funktion. Zeichne dann den Graphen der gebrochen-rationalen Funktion in das Koordinatensystem ein.
$f_{1} (x) = \frac{2}{x - 1} - 1$

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Teilaufgabe 1
Aus dem Funktionsterm von $f_{1} (x)$ liest Du den Wert für $c$ ab:
$c = - 1$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um eine Einheit in negative y-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die waagerechte Asymptote ist $y = - 1$ .
Aus dem Funktionsterm von $f_{1} (x)$ liest Du den Wert für $b$ ab:
$b = - 1$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um eine Einheit in positive x-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die senkrechte Asymptote ist $x = 1$ .
Teilaufgabe 2
Zeichne die Asymptoten $y = - 1$ und $x = 1$ in ein Koordinatensystem ein.
Teilaufgabe 3
Erstelle eine Wertetabelle:
Anmerkung: An der Stelle $x = 1$ ist die Funktion $f_{1} (x)$ nicht definiert (abgekürzt mit n.d.), das heißt an der Stelle $x = 1$ liegt eine Definitionslücke vor.
Trage die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde sie. In der Nähe der senkrechten Asymptote $x = 1$ kannst du noch Zwischenwerte berechnen. So kannst du den Graphen genauer zeichnen.
Graph der Funktion $f_{1} (x) = \frac{2}{x - 1} - 1$

$f_{2} (x) = \frac{- 3}{x + 2} + 1$

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Teilaufgabe 1
Aus dem Funktionsterm von $f_{2} (x)$ liest Du den Wert für $c$ ab:
$c = 1$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um eine Einheit in positive y-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die waagerechte Asymptote ist $y = 1$ .
Aus dem Funktionsterm von $f_{2} (x)$ liest Du den Wert für $b$ ab:
$b = 2$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um zwei Einheiten in negative x-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die senkrechte Asymptote ist $x = - 2$ .
Teilaufgabe 2
Zeichne die Asymptoten $y = 1$ und $x = - 2$ in ein Koordinatensystem ein.
Teilaufgabe 3
Erstelle eine Wertetabelle:
Anmerkung: An der Stelle $x = - 2$ ist die Funktion $f_{2} (x)$ nicht definiert (abgekürzt mit n.d.), das heißt an der Stelle $x = - 2$ liegt eine Definitionslücke vor.
Trage die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde sie.
Graph der Funktion $f_{2} (x) = \frac{- 3}{x + 2} + 1$

$f_{3} (x) = \frac{1,5}{x - 1,5} + 3$

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Teilaufgabe 1
Aus dem Funktionsterm von $f_{3} (x)$ liest Du den Wert für $c$ ab:
$c = 3$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um drei Einheiten in positive y-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die waagerechte Asymptote ist $y = 3$ .
Aus dem Funktionsterm von $f_{3} (x)$ liest Du den Wert für $b$ ab:
$b = - 1,5$ , das heißt der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ wurde um $1,5$ Einheiten in positive x-Richtung verschoben $\Rightarrow$ die senkrechte Asymptote ist $x = 1,5$ .
Teilaufgabe 2
Zeichne die Asymptoten $y = 3$ und $x = 1,5$ in ein Koordinatensystem ein.
Teilaufgabe 3
Erstelle eine Wertetabelle:
Anmerkung: Die Definitionlücke $x = 1,5$ erscheint nicht in der Wertetabelle.
Trage die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde sie.
Graph der Funktion $f_{3} (x) = \frac{1,5}{x - 1,5} + 3$
11
Gib eine gebrochen-rationalen Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ an, die die angegebenen Asymptoten besitzt.
Achtung: Hier gibt es viele Lösungsmöglichkeiten. Finde mindestens zwei.
Die Funktion $g (x)$ hat die senkrechte Asymptote $x = - 3$ und die waagerechte Asymptote $y = 1,5$ .

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Die senkrechte Asymptote des Graphen sagt etwas über die Verschiebung des Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ nach rechts oder links (in positive oder negative x-Richtung) aus. Hier liegt die senkrechte Asymptote des Graphen der Funktion $g (x)$ bei $x = - 3$ . $G_{f}$ wurde also um 3 Einheiten nach links verschoben $\Rightarrow b = 3$ .
Die waagerechte Asymptote des Graphen sagt etwas über die Verschiebung des Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ nach oben oder unten (in positive oder negative y-Richtung) aus. Hier liegt die waagerechte Asymptote des Graphen der Funktion $g (x)$ bei $y = 1,5$ . $G_{f}$ wurde also um $1,5$ Einheiten nach oben verschoben $\Rightarrow c = 1,5$ .
Die beiden Werte für $b$ und $c$ kannst du nun in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen:
$g (x) = \frac{a}{x + 3} + 1,5$
Um zwei verschiedene Funktionsgleichungen anzugeben, musst Du nur für den Parameter $a$ zwei verschiedene Werte wählen.
Zum Beispiel für $a = 2$ erhältst Du die Funktion $g_{1} (x) = \frac{2}{x + 3} + 1,5$ und für $a = - 1$ die Funktion $g_{2} (x) = \frac{- 1}{x + 3} + 1,5$ .
Antwort: Die beiden Funktionen $g_{1} (x) = \frac{2}{x + 3} + 1,5$ und
$g_{2} (x) = \frac{- 1}{x + 3} + 1,5$ haben die senkrechte Asymptote $x = - 3$ und die waagerechte Asymptote $y = 1,5$ .
Die folgenden beiden Abbildungen sind nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dienen nur zur Veranschaulichung.

Die Funktion $h (x)$ hat die senkrechte Asymptote $x = 4,5$ und die waagerechte Asymptote $y = - 1$ .

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Die senkrechte Asymptote des Graphen sagt etwas über die Verschiebung des Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ nach rechts oder links (in positive oder negative x-Richtung) aus. Hier liegt die senkrechte Asymptote des Graphen der Funktion $h (x)$ bei $x = 4,5$ . $G_{f}$ wurde also um $4,5$ Einheiten nach rechts verschoben $\Rightarrow b = - 4,5$ .
Die waagerechte Asymptote des Graphen sagt etwas über die Verschiebung des Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ nach oben oder unten (in positive oder negative y-Richtung) aus. Hier liegt die waagerechte Asymptote des Graphen der Funktion $h (x)$ bei $y = - 1$ . $G_{f}$ wurde also um eine Einheit nach unten verschoben $\Rightarrow c = - 1$ .
Die beiden Werte für $b$ und $c$ kannst du nun in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen:
$h (x) = \frac{a}{x - 4,5} - 1$
Um zwei verschiedene Funktionsgleichungen anzugeben, musst Du nur für den Parameter $a$ zwei verschiedene Werte wählen.
Zum Beispiel für $a = 3$ erhältst Du die Funktion $h_{1} (x) = \frac{3}{x - 4,5} - 1$ und für $a = 0,5$ die Funktion $h_{2} (x) = \frac{0,5}{x - 4,5} - 1$ .
Antwort: Die beiden Funktionen $h_{1} (x) = \frac{3}{x - 4,5} - 1$ und
$h_{2} (x) = \frac{0,5}{x - 4,5} - 1$ haben die senkrechte Asymptote $x = 4,5$ und die waagerechte Asymptote $y = - 1$ .
Die folgenden beiden Abbildungen sind nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dienen nur zur Veranschaulichung.
12
Bestimme bei den gegebenen Funktionen die Definitionslücke und gib den maximalen Definitionsbereich an. Deine Grundmenge sind die rationalen Zahlen $ℚ$ .
$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

For this task you need the following basic knowledge: Definitionsbereich bestimmen
Setze den Nenner gleich Null:
$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
Für $x = 2$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $2$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x = 2$ eine Definitonslücke vorliegt.
Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $f$ ist $x = 2$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_{f} = ℚ \ {2}$
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)

$g (x) = \frac{5}{x + 3} - 2$

For this task you need the following basic knowledge: Definitionsbereich bestimmen
Setze den Nenner gleich Null:
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$
Für $x = - 3$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $- 3$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x = - 3$ eine Definitonslücke vorliegt.
Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $g$ ist $x = - 3$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_{g} = ℚ \ {- 3}$
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)

$h (x) = - \frac{3}{x - \frac{1}{3}} - 1$

For this task you need the following basic knowledge: Definitionsbereich bestimmen
Setze den Nenner gleich Null:
$x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$
Für $x = \frac{1}{3}$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $\frac{1}{3}$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x = \frac{1}{3}$ eine Definitonslücke vorliegt.
Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $h$ ist $x = \frac{1}{3}$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_{h} = ℚ \ {\frac{1}{3}}$
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)

$k (x) = \frac{1}{2 x + 2} - 3$

For this task you need the following basic knowledge: Definitionsbereich bestimmen
Setze den Nenner gleich Null:
$\begin{array}{rcl} 2 x + 2 & = & 0 & | - 2 \\ 2 x & = & - 2 & | (: 2) \\ x & = & - 1 \end{array}$
Für $x = - 1$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $- 1$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x = - 1$ eine Definitonslücke vorliegt.
Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $k$ ist $x = - 1$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_{k} = ℚ \ {- 1}$
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)

$l (x) = \frac{1,5}{5 x - 2} + 3$

For this task you need the following basic knowledge: Definitionsbereich bestimmen
Setze den Nenner gleich Null:
$\begin{array}{rcl} 5 x - 2 & = & 0 & | + 2 \\ 5 x & = & 2 & | (: 5) \\ x & = & \frac{2}{5} \end{array}$
Für $x = \frac{2}{5}$ würde der Nenner gleich Null sein, das heißt die Zahl $\frac{2}{5}$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x = \frac{2}{5}$ eine Definitonslücke vorliegt.
Antwort: Die Definitionslücke der Funktion $l$ ist $x = \frac{2}{5}$ und der maximale Definitionsbereich lautet: $D_{l} = ℚ \ {0,4}$
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der Funktionsterm ist ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich Null ist. (Durch Null darf nicht geteilt werden.)
13
Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ .
Ermittle die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationale Funktion mit folgenden Eigenschaften.
Der Graph der gesuchten Funktion $f$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y = 2,5$ , eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x = - 3$ und verläuft durch den Punkt $T (0 | 3,5)$ .

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Die waagerechte Asymptote hat die Funktionsgleichung $y = 2,5$ . Der Parameter $c$ beschreibt die Verschiebung des Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ in positive oder negative y-Richtung. Demnach muss $c = 2,5$ sein. Die Funktionsgleichung sieht somit folgendermaßen aus:
$f (x) = \frac{a}{x + b} + 2,5$
Die senkrechte Asymptote hat die Gleichung $x = - 3$ . Der Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert $3$ haben: $\Rightarrow b = 3 \Rightarrow f (x) = \frac{a}{x + 3} + 2,5$
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $T (0 | 3,5)$ in die Funktionsgleichung von $f (x)$ ein und löse nach $a$ auf.
$\begin{array}{rcl} 3,5 & = & \frac{a}{0 + 3} + 2,5 & | - 2,5 \\ 1 & = & \frac{a}{3} & | \cdot 3 \\ a & = & 3 \end{array}$
Antwort: Der Graph der Funktion $f (x) = \frac{3}{x + 3} + 2,5$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y = 2,5$ , eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x = - 3$ und geht durch den Punkt $T (0 | 3,5)$ .
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Überlege dir, welche Auswirkungen die Parameter $b$ und $c$ auf den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ haben.

Der Graph der gesuchten Funktion $f$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y = 1,5$ , schneidet die x-Achse im Punkt $N (- 2 | 0)$ und schneidet die y-Achse nicht.

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Wenn die y-Achse nicht geschnitten werden soll, darf der Graph $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ nicht in positive oder negative x-Richtung verschoben werden. Der Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert $0$ haben:
$\Rightarrow b = 0 \Rightarrow f (x) = \frac{a}{x} + c$ .
Die waagerechte Asymptote hat die Funktionsgleichung $y = 1,5$ . Der Parameter $c$ beschreibt die Verschiebung des Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ in positive oder negative y-Richtung. Demnach muss $c = 1,5$ sein. Die Funktionsgleichung sieht somit folgendermaßen aus:
$f (x) = \frac{a}{x} + 1,5$
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $N (- 2 | 0)$ in die Funktionsgleichung von $f (x)$ ein und löse nach $a$ auf.
$\begin{array}{rcl} 0 & = & \frac{a}{- 2} + 1,5 & | + \frac{a}{2} \\ \frac{a}{2} & = & 1,5 & | \cdot 2 \\ a & = & 3 \end{array}$
Antwort: Der Graph der Funktion $f (x) = \frac{3}{x} + 1,5$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y = 1,5$ , schneidet die y-Achse nicht und geht durch den Punkt $N (- 2 | 0)$ .
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Überlege dir, welche Auswirkungen die Parameter $b$ und $c$ auf den Graphen $G_{f}$ der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ haben.
14
Lies aus den abgebildeten Graphen jeweils die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ab. Überprüfe rechnerisch deine Werte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung.
$f (x) = \frac{2}{x + 2} + 4$

For this task you need the following basic knowledge: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T (0 | 5)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T (0 | 5)$ :
$f (0) = \frac{2}{0 + 2} + 4 = 1 + 4 = 5 ✓$
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N (- 2,5 | 0)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N (- 2,5 | 0)$ :
$f (- 2,5) = \frac{2}{- 2,5 + 2} + 4 = \frac{2}{- 0,5} + 4 = - 4 + 4 = 0 ✓$
Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.
Suche den Punkt auf der y-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $T$ . Suche dann den Punkt auf der x-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $N$ .

$g (x) = \frac{4}{x - 2} + 4$

For this task you need the following basic knowledge: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T (0 | 2)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T (0 | 2)$ :
$g (0) = \frac{4}{0 - 2} + 4 = - 2 + 4 = 2 ✓$
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N (1 | 0)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N (1 | 0)$ :
$g (1) = \frac{4}{1 - 2} + 4 = \frac{4}{- 1} + 4 = - 4 + 4 = 0 ✓$
Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.
Suche den Punkt auf der y-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $T$ . Suche dann den Punkt auf der x-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $N$ .

$h (x) = - \frac{3}{x - 3} - 3$

For this task you need the following basic knowledge: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Auf der y-Achse läuft der Graph durch den Punkt $T (0 | - 2)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $T (0 | - 2)$ :
$h (0) = - \frac{3}{0 - 3} - 3 = 1 - 3 = - 2 ✓$
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Auf der x-Achse läuft der Graph durch den Punkt $N (2 | 0)$ .
Rechnerische Überprüfung für den Punkt $N (2 | 0)$ :
$h (2) = - \frac{3}{2 - 3} - 3 = - \frac{3}{- 1} - 3 = 3 - 3 = 0 ✓$
Antwort: Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, das heißt sie wurden korrekt abgelesen.
Suche den Punkt auf der y-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $T$ . Suche dann den Punkt auf der x-Achse, durch den der Graph der Funktion verläuft und nenne ihn $N$ .
15
Ordne dem Graphen $f$ einer gebrochen-rationalen Funktion die entsprechende Funktionsgleichung zu.
$f (x) = \frac{1}{x - 1} - 1$
$f (x) = \frac{1}{x + 1} + 1$
$f (x) = \frac{1}{x - 1} + 1$
$f (x) = - \frac{1}{x - 1} + 1$

$f (x) = \frac{1}{x + 2} - 3$
$f (x) = \frac{1}{x + 2} + 3$
$f (x) = \frac{1}{x - 3} + 2$
$f (x) = \frac{1}{x + 3} - 2$

$f (x) = \frac{1}{x - 1,5} + 2$
$f (x) = \frac{3}{x - 1,5} + 2$
$f (x) = \frac{1}{x + 1,5} + 2$
$f (x) = \frac{3}{x - 2} + 1,5$
16
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der gegebenen Funktionen mit den Koordinatenachsen.
$g (x) = \frac{2,5}{x + 2,5} + 5$

For this task you need the following basic knowledge: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $g (0)$ :
$g (0) = \frac{2,5}{0 + 2,5} + 5 = 1 + 5 = 6$
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T (0 | 6)$ geschnitten.
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $g (x) = 0$ .
$\begin{array}{rcl} \frac{2,5}{x + 2,5} + 5 & = & 0 & | - 5 \\ \frac{2,5}{x + 2,5} & = & - 5 & | \cdot (x + 2,5) \\ 2,5 & = & - 5 \cdot (x + 2,5) & | : (- 5) \\ - 0,5 & = & x + 2,5 & | - 2,5 \\ x & = & - 3 \end{array}$
Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N (- 3 | 0)$ geschnitten.
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Für den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse setze $x = 0$ in die Funktionsgleichung ein. Den Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) berechnest du durch Lösen der Gleichung $g (x) = 0$ .

$h (x) = \frac{2}{x + 1} + 2$

For this task you need the following basic knowledge: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $h (0)$ :
$h (0) = \frac{2}{0 + 1} + 2 = 2 + 2 = 4$
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T (0 | 4)$ geschnitten.
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$
Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $h (x) = 0$ .
$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 1} + 2 & = & 0 & | - 2 \\ \frac{2}{x + 1} & = & - 2 & | \cdot (x + 1) \\ 2 & = & - 2 \cdot (x + 1) & | : (- 2) \\ - 1 & = & x + 1 & | - 1 \\ x & = & - 2 \end{array}$
Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N (- 2 | 0)$ geschnitten.
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Für den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse setze $x = 0$ in die Funktionsgleichung ein. Den Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) berechnest du durch Lösen der Gleichung $h (x) = 0$ .

$k (x) = \frac{2}{x + 2} - 4$

For this task you need the following basic knowledge: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$
Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $k (0)$ :
$k (0) = \frac{2}{0 + 2} - 4 = 1 - 4 = - 3$
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T (0 | - 3)$ geschnitten.
Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $k (x) = 0$ .
$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 2} - 4 & = & 0 & | + 4 \\ \frac{2}{x + 2} & = & 4 & | \cdot (x + 2) \\ 2 & = & 4 \cdot (x + 2) & | : 4 \\ 0,5 & = & x + 2 & | - 2 \\ x & = & - 1,5 \end{array}$
Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N (- 1,5 | 0)$ geschnitten.
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Für den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse setze $x = 0$ in die Funktionsgleichung ein. Den Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) berechnest du durch Lösen der Gleichung $k (x) = 0$ .
17
Gegeben sind Graphen von gebrochen-rationalen Funktionen der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ .
Ermittle mit Hilfe des Applets die entsprechenden Werte der Parameter $a, b$ und $c$ für den jeweiligen Graphen.
Gib die Werte in der Form $a$ Leertaste $b$ Leertaste $c$ ein (z.B. so: -3 4,5 2; positive Werte ohne Vorzeichen)
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For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Vermutet wird eine senkrechte Asymptote bei $x = 2$ . Das hat zur Folge, dass der Parameter $b$ den Wert $- 2$ haben muss. Die waagerechte Asymptote wird bei $y = 3$ vermutet. Das hat zur Folge, dass der Parameter $c$ den Wert $3$ haben muss.
Wenn du nun mit den Schiebereglern $b = - 2$ und $c = 3$ einstellst, siehst du, dass die beiden Graphen identisch sind, z.B. wird bei beiden Graphen die y-Achse in Punkt $T (0 | 2,5)$ geschnitten. Der Parameter $a$ hat also den Wert $1$ .
Antwort: Deine Eingabe muss also lauten: 1 -2 3
(Hinweis: Gib immer die positiven Werte ohne Vorzeichen ein. Zwischen den Werten lasse immer eine Leertaste frei.)
Versuche aus dem gegebenen Graphen die senkrechte und die waagerechte Asymptote abzulesen. Sie geben dir Hinweise auf die Parameter $b$ und $c$ . Mit den Schiebereglern kannst du dann deine vermuteten Werte für diese beiden Parameter einstellen und die beiden Graphen vergleichen. Eventuell muss noch der Parameter $a$ angepasst werden.
Vergleiche dann z.B. die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen der beiden Graphen, um sicher zu sein.

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For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Vermutet wird eine senkrechte Asymptote bei $x = - 2,5$ . Das hat zur Folge, dass der Parameter $b$ den Wert $2,5$ haben muss. Die waagerechte Asymptote wird bei $y = - 1$ vermutet. Das hat zur Folge, dass der Parameter $c$ den Wert $- 1$ haben muss.
Wenn du nun mit den Schiebereglern $b = 2,5$ und $c = - 1$ einstellst, siehst du, dass die beiden Graphen noch nicht identisch sind. Der Graph des Applets muss noch an der y-Achse gespiegelt werden, das heißt der Parameter $a$ muss negativ sein. Wenn $a = - 2$ ist, dann sind die beiden Graphen identisch, z.B. wird bei beiden Graphen die x-Achse in Punkt $N (- 4,5 | 0)$ geschnitten.
Antwort: Deine Eingabe muss also lauten: -2 2,5 -1
(Hinweis: Gib immer die positiven Werte ohne Vorzeichen ein. Zwischen den Werten lasse immer eine Leertaste frei.)
Versuche aus dem gegebenen Graphen die senkrechte und die waagerechte Asymptote abzulesen. Sie geben dir Hinweise auf die Parameter $b$ und $c$ . Mit den Schiebereglern kannst du dann deine vermuteten Werte für diese beiden Parameter einstellen und die beiden Graphen vergleichen. Eventuell muss noch der Parameter $a$ angepasst werden.
Vergleiche dann z.B. die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen der beiden Graphen, um sicher zu sein.

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For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
Vermutet wird eine senkrechte Asymptote bei $x = 1,5$ . Das hat zur Folge, dass der Parameter $b$ den Wert $- 1,5$ haben muss. Die waagerechte Asymptote wird bei $y = 2$ vermutet. Das hat zur Folge, dass der Parameter $c$ den Wert $2$ haben muss.
Wenn du nun mit den Schiebereglern $b = - 1,5$ und $c = 2$ einstellst, siehst du, dass die beiden Graphen noch nicht identisch sind. Verändere nun den Parameter $a$ . Wenn $a = 3$ ist, dann sind die beiden Graphen identisch. Beide Graphen schneiden die Koordinatenachsen im Koordinatenursprung.
Antwort: Deine Eingabe muss also lauten: 3 -1,5 2
(Hinweis: Gib immer die positiven Werte ohne Vorzeichen ein. Zwischen den Werten lasse immer eine Leertaste frei.)
Versuche aus dem gegebenen Graphen die senkrechte und die waagerechte Asymptote abzulesen. Sie geben dir Hinweise auf die Parameter $b$ und $c$ . Mit den Schiebereglern kannst du dann deine vermuteten Werte für diese beiden Parameter einstellen und die beiden Graphen vergleichen. Eventuell muss noch der Parameter $a$ angepasst werden.
Vergleiche dann die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen der beiden Graphen, um sicher zu sein.
18
Ordne jedem der Funktionsgraphen die passende Funktion zu.
$f : f (x) = x; D_{f} = ℚ$
$f : f (x) = \frac{2}{x}; D_{f} = ℚ ∖ {0}$
$f : f (x) = - \frac{2}{x}; D_{f} = ℚ ∖ {0}$
$f : f (x) = \frac{0,3}{x}; D_{f} = ℚ ∖ {0}$
$f : f (x) = - 5 x; D_{f} = ℚ$

For this task you need the following basic knowledge: gebrochen-rationale Funktionen
$𝐟 (𝐱) = 𝐱 \Rightarrow 𝐠 𝐫 𝐚 𝐮 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
$𝐟 (𝐱) = - 𝟓 𝐱 \Rightarrow 𝐫 𝐨 𝐭 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
$𝐟 (𝐱) = \frac{𝟐}{𝐱} \Rightarrow 𝐥 𝐢 𝐥 𝐚 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
$𝐟 (𝐱) = - \frac{𝟐}{𝐱} \Rightarrow 𝐠 𝐫 \ddot{𝐮} 𝐧 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
$𝐟 (𝐱) = \frac{𝟎,𝟑}{𝐱} \Rightarrow 𝐛 𝐥 𝐚 𝐮 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
$𝐟 (𝐱) = 𝐱 \Rightarrow 𝐠 𝐫 𝐚 𝐮 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
Bei der ersten Funktion $f (x) = x$ handelt es sich um eine Funktion der Form $f (x) = m \cdot x + t$ , wobei in diesem Fall die Steigung $m = 1$ und der y-Achsenabschnitt $t = 0$ ist. Den Graphen einer Funktion solcher Form nennt man eine Gerade.
Mit diesen Informationen weißt du auch, dass es sich um eine steigende Gerade handelt und demnach kannst die Funktion $𝐟 (𝐱) = 𝐱$ dem $𝐠 𝐫 𝐚 𝐮 𝐞 𝐧$ Graphen zuordnen.
Überprüfen kannst du dies, indem du einen Punkt auf dem Graphen abliest und diesen in die Funktion einsetzt.
$P (0 ∣ 0) \Rightarrow f (0) = 1 \cdot 0 + 0 = 0$
$𝐟 (𝐱) = - 𝟓 𝐱 \Rightarrow 𝐫 𝐨 𝐭 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
Ähnlich wie bei der vorherigen Funktion handelt es sich bei der letzten Funktion $f (x) = - 5 x$ um eine lineare Funktion mit der Steigung $m = - 5$ und dem y-Achsenabschnitt $t = 0$ .
Die Steigung dieser Funktion ist negativ und somit handelt es sich um eine fallende Gerade. Also kannst du die Funktion $𝐟 (𝐱) = - 𝟓 𝐱$ dem $𝐫 𝐨 𝐭 𝐞 𝐧$ Graphen zuordnen.
$𝐟 (𝐱) = \frac{𝟐}{𝐱} \Rightarrow 𝐥 𝐢 𝐥 𝐚 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
Aus der Form der Funktion $f (x) = \frac{2}{x}$ kannst du entnehmen, dass es sich bei dem Graphen dieser Funktion um eine Hyperbel handelt mit der positiven Öffnung $a = 2$ . Das heißt der Graph befindet sich im 1. und 3. Quadranten.
Also hast du von den 5 Graphen 2 (blau und lila), die in Frage kommen würden. Um herauszufinden welcher dieser Graphen die richtige ist, kannst du einen günstigen x-Wert in die Funktion einsetzten und schauen, welcher y-Wert rauskommt. Anschließend kannst du überprüfen auf welchem Graph sich der Punkt befindet.
Beispiel: $𝐱 = 𝟐$
$f (2) = \frac{2}{2} = 1 \Rightarrow P (2 | 1) \Rightarrow Der Punkt liegt auf dem 𝐥 𝐢 𝐥 𝐚 Graphen.$
$𝐟 (𝐱) = - \frac{𝟐}{𝐱} \Rightarrow 𝐠 𝐫 \ddot{𝐮} 𝐧 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
Auch hier handelt es sich um eine Hyperbel. Dieses Mal besitzt die Hyperbel eine negative Öffnung $a = - 2$ . Das heißt der Graph befindet sich im 2. und 4. Quadranten. Somit kommt für die Funktion $𝐟 (𝐱) = - \frac{𝟐}{𝐱}$ nur der $𝐠 𝐫 \ddot{𝐮} 𝐧 𝐞$ Graph in Frage.
Die Überlegung kannst du überprüfen, indem du einen günstigen und gut ablesbaren Punkten vom Graphen entnimmst und den in die Funktion einsetzt.
$P (2 ∣ - 1) \Rightarrow f (2) = - \frac{2}{2} = - 1$
$𝐟 (𝐱) = \frac{𝟎,𝟑}{𝐱} \Rightarrow 𝐛 𝐥 𝐚 𝐮 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$
Bei der Funktion $f (x) = \frac{0,3}{x}$ handelt es sich ebenfalls um eine Hyperbel mit der positiven Öffnung $a = 0,3$ . Also befindet sich der Graph im 1. und 3. Quadranten. Somit ist es entweder der lila Graph oder der blaue Graph.Um herauszufinden welcher dieser Graphen die richtige ist, kannst du einen günstigen x-Wert in die Funktion einsetzten und schauen, welcher y-Wert rauskommt. Anschließend kannst du überprüfen auf welchem Graph sich der Punkt befindet.
Beispiel: $𝐱 = 𝟐$
$f (2) = \frac{0,3}{2} = 0,15 \Rightarrow P (2 | 0,15) \Rightarrow Der Punkt liegt auf dem 𝐛 𝐥 𝐚 𝐮 𝐞 𝐧 Graphen.$
Der Graph einer Funktion der Form $f (x) = \frac{a}{x}$ entspricht einer Hyperbel. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.

$\frac{x}{x - 2}$	$=$	$- 3$	$\cdot (x - 2)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$x$	$=$	$- 3 (x - 2)$
	↓	Multipliziere aus.
$x$	$=$	$- 3 x + 6$	$+ 3 x$
$4 x$	$=$	$6$	$: 4$
$x$	$=$	$\frac{6}{4} = 1,5$

$f (x)$	$=$	$g (x)$
$\frac{x}{x - 2}$	$=$	$\frac{x}{3}$	$\cdot 3 (x - 2)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$3 x$	$=$	$x (x - 2)$
	↓	Multipliziere aus.
$3 x$	$=$	$x^{2} - 2 x$	$- 3 x$
$x^{2} - 5 x$	$=$	$0$
	↓	Klammer x aus.
$x (x - 5)$	$=$	$0$

$\frac{3}{2 + x}$	$=$	$\frac{1}{2 - x}$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$3 \cdot (2 - x)$	$=$	$1 \cdot (2 + x)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$6 - 3 x$	$=$	$2 + x$	$- 2 + 3 x$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$ 4$	$=$	$4 x$	$: 4$
$x$	$=$	$1$

$x$	-5	-3	-1	0	1	3	5
$f (x)$	-3,2	$\approx$ -3,3	-4	undefiniert	-2	$\approx$ -2,7	-2,8

$x$	-9	-7	-5	-4	-3	-1	1
$g (x)$	-0,2	$\approx$ -0,3	-1	undefiniert	1	$\approx$ 0,3	0,2

$x$	0	2	4	5	6	8	10
$h (x)$	-0,2	$\approx$ -0,3	-1	undefiniert	1	$\approx$ 0,3	0,2

$x$	-5	-3	-1	0	1	3	5
$i (x)$	3,3	$\approx$ 3,2	2,5	undefiniert	4,5	$\approx$ 3,8	3,7

$x$	-5	-3	-1	0	1	3	5
$j (x)$	-0,4	$\approx$ -0,7	-2	undefiniert	2	$\approx$ -0,7	0,4

$x$	-6	-4	-2	-1,5	-1	1	3
$m (x)$	$\approx$ -1,8	-1,6	0	undefiniert	-4	-2,4	$\approx$ -2,2

Exercises: Simple rational functions

Zeichnung

Bestimmung der Nullstelle

x-Wert mit f(x)=−3

Bestimmung der Schnittpunkte

Rechnung

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0

Parameter b und c bestimmen

Parameter a bestimmen

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Lösung

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Asymptoten bestimmen

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Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Setze den Nenner gleich Null:

Setze den Nenner gleich Null:

Setze den Nenner gleich Null:

Setze den Nenner gleich Null:

x-Wert mit $f (x) = - 3$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Parameter $a$ ablesen

Parameter $a$ berechnen

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Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

$𝐟 (𝐱) = 𝐱 \Rightarrow 𝐠 𝐫 𝐚 𝐮 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$

$𝐟 (𝐱) = - 𝟓 𝐱 \Rightarrow 𝐫 𝐨 𝐭 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$

$𝐟 (𝐱) = \frac{𝟐}{𝐱} \Rightarrow 𝐥 𝐢 𝐥 𝐚 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$

$𝐟 (𝐱) = - \frac{𝟐}{𝐱} \Rightarrow 𝐠 𝐫 \ddot{𝐮} 𝐧 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$

$𝐟 (𝐱) = \frac{𝟎,𝟑}{𝐱} \Rightarrow 𝐛 𝐥 𝐚 𝐮 𝐞 𝐫 𝐆 𝐫 𝐚 𝐩 𝐡$