Mixed exercises: Quadratic functions

1
Welche Werte kann der Parameter t annehmen, so dass die folgenden Aussagen richtig sind?
Der Graph der Funktion f mit $f (x) = x^{2} + t x + 1$ verläuft vollständig oberhalb der x-Achse.

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
Es werden zwei mögliche Lösungswege vorgestellt.
1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten
$x^{2} + t x + 1 = 0$
Diskriminante: $D = t^{2} - 4$ .
Als Bedingung dafür, dass keine Nullstelle existiert, ergibt sich nun $D = t^{2} - 4 < 0$ .
$t^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow t \in] - 2; 2 [$
Daher liegt $t$ im Intervall $] - 2; 2 [$ .
2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln
Gegeben ist die Funktion:
$f (x) = x^{2} + t x + 1; x \in R$
Der Graph der Funktion $f (x)$ soll oberhalb der $x$ - Achse verlaufen.
Daraus folgt für alle Werte $f (x) > 0$ .
Der Scheitelpunkt der Parabel muss also auch oberhalb der $x$ -Achse liegen.
$f (x)$ $=$ $x^{2} + t x + 1$
↓
Quadratische Ergänzung
$=$ $x^{2} + t x + (\frac{t}{2})^{2} - (\frac{t}{2})^{2} + 1$
↓
Binom bilden
$=$ $(x + \frac{t}{2})^{2} + 1 - (\frac{t}{2})^{2}$
↓
Scheitelpunktform bestimmen
$=$ $(x + \frac{t}{2})^{2} + 1 - \frac{t^{2}}{4}$
Der Scheitelpunkt ist also $S (- \frac{t}{2} | 1 - \frac{t^{2}}{4})$ .
Die $y$ -Koordinate des Scheitels muss oberhalb der $x$ -Achse liegen also $f (t) > 0$ . Daraus folgt die Ungleichung:
$1 - 4 t^{2} > 0 \Leftrightarrow t^{2} < 4$
Lösen der Ungleichung:
Wurzel ziehen und beachten, dass sowohl negative als auch
positive Werte auftreten können.
Ergebnis:
Der Paramter $t$ liegt im Intervall $] - 2; 2 [$ .

Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit $f (x) = - x^{2} - t x - 2$ liegt auf der x-Achse.

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
$f (x) = - x^{2} - t x - 2$
1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante
Da der Scheitel der zugehörigen Parabel auf der x-Achse liegen soll, hat die quadratische Gleichung $- x^{2} - t x - 2 = 0$ genau eine Lösung. Für die Diskriminante muss also $D = 0$ gelten.
$D = t^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1) = t^{2} - 8 = 0$
Also ist $t = \sqrt{8}$ oder $t = - \sqrt{8}$ .
2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
$f (x)$ $=$ $- x^{2} - t x - 2$
$=$ $- [x^{2} + t x + \frac{t^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
$=$ $- [(x + \frac{t}{2})^{2} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
$=$ $(x + \frac{t}{2})^{2} + \frac{t^{2}}{4} - 2$
Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei $(- \frac{t}{2} | \frac{t^{2}}{4} - 2)$ .
Da der Scheitel auf der x-Achse liegen soll und dessen y-Koordinate damit $0$ ist, muss $\frac{t^{2}}{4} - 2 = 0$ gelten.
Also: $t^{2} = 8$ und damit $t = \sqrt{8}$ oder $t = - \sqrt{8}$ .

Der Scheitel des Graphen der Funktion f mit $f (x) = - x^{2} - t x - 2$ liegt auf der y-Achse.

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades.
$f (x) = - x^{2} - t x - 2$
1.Lösungsweg: Achsensymmetrie
Da der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegen soll, muss $f (x) = f (- x)$ für alle $x \in ℝ$ gelten.
Damit gilt: $- (x)^{2} - t x - 2 = - (- x)^{2} - t (- x) - 2$
Also: $- t x = t x$ $\Rightarrow 2 t x = 0$ $\Rightarrow t = 0$ .
2.Lösungsweg: Scheitelform
Mit der Scheitelform einer quadratischen Funktion kann der Scheitelpunkt abgelesen werden.
$f (x)$ $=$ $- x^{2} - t x - 2$
↓
Ergänze quadratisch
$=$ $- [x^{2} + t x + \frac{t^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
↓
Binomische Formel
$=$ $- [(x + \frac{t}{2})^{2} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
↓
Klammern auflösen
$=$ $- (x + \frac{t}{2})^{2} + \frac{t^{2}}{4} - 2$
Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt also bei $(- \frac{t}{2} | \frac{t^{2}}{4} - 2)$ .
Da der Scheitel auf der y-Achse liegen soll und dessen x-Koordinate dafür $0$ sein muss, muss $- \frac{t}{2} = 0$ gelten, also $t = 0$ .
2
Bestimme die Schnittpunkte der Geraden $y = x - 1,5$ mit der Parabel $y = x^{2} - 4 x + 2,5$ rechnerisch.
Kontrolliere dein Ergebnis graphisch.

For this task you need the following basic knowledge: Schnittpunkte zweier Funktionen
$\begin{array}{l} y = x - 1,5 \\ y = x^{2} - 4 x + 2,5 \end{array}$
Funktionen gleichsetzen.
$x - 1,5 = x^{2} - 4 x + 2,5$
Rechne: $- x + 1,5$
$0 = x^{2} - 4 x - x + 2,5 + 1,5$
$0 = x^{2} - 5 x + 4$
Mitternachtsformel anwenden $\to$ Diskriminante $D$ berechnen.
$D = 25 - 4 \cdot 4 = 9$
$\begin{array}{l} x_{1} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = 1 \\ x_{2} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = 4 \end{array}$
y-Werte berechnen. $\to x_{1}$ in Gleichung einsetzen.
$\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ \Rightarrow y_{1} = f (x_{1}) = 1 - 1,5 = - 0,5 \end{array}$
$\Rightarrow S_{1} (1 | - 0,5)$
$x_{2} $ in Gleichung einsetzen.
$\begin{array}{l} x_{2} = 4 \\ \Rightarrow y_{2} = f (x_{2}) = 4 - 1,5 = 2,5 \end{array}$
$\Rightarrow S_{2} (4 | 2,5)$
Graphische Lösung:
3
Gib jeweils die Gleichung einer Parabel an, die mit der Parabel $y = x^{2} + 2 x$ keinen, einen bzw. zwei verschiedene Schnittpunkte hat.

For this task you need the following basic knowledge: Parabeln
Zur besseren Übersicht berechnen wir zunächst die Scheitelform mit quadratischer Ergänzung:
$y = x^{2} + 2 x + 1^{2} - 1^{2} = (x + 1)^{2} - 1$
Parabel ohne Schnittpunkt
$y = (x + 1)^{2} - 1$
Es gibt viele Lösungen. Beispielsweise: die gleiche Gleichung nach obendurch den y-Achsenabschnitt t verschieben.
$y^{'} = (x + 1)^{2}$
Parabel mit einem Schnittpunkt
$y = (x + 1)^{2} - 1$
Es gibt viele Lösungen. Beispielsweise: die gleiche Gleichung umdrehen, sodass sich nur die Scheitel der Graphen berühren. Dafüer braucht man die Scheitelform.
$y^{'} = - (x + 1)^{2} - 1$
Parabel mit zwei Schnittpunkten
$y = (x + 1)^{2} - 1$
auch hier gibt es viele Lösungen. Beispielsweise: Die gleiche Gleichung wieder umdrehen und sie dann aber noch um 1 nach oben verschieben, sodass sich 2 Schnittpunkte bilden.
$y^{'} = - {(x + 1)}^{2}$
4
Gegeben sind zwei Funktionen mit den Gleichungen $y_{a} = x + 1$ und $y_{b} = \frac{1}{2 x}$ .
Zeichne die Graphen der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem und lies die Koordinaten der Schnittpunkte näherungsweise ab.
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte exakt.

For this task you need the following basic knowledge: Schnittpunkte
Schnittpunkte bestimmen
Den Schnittpunkt der Funktionen bestimmst du, indem du die Funktionsterme gleichsetzt.
$y_{a} = x + 1$
$y_{b} = \frac{1}{2 x}$
$y_{a}$ $=$ $y_{b}$
$x + 1$ $=$ $\frac{1}{2 x}$ $\cdot 2 x$
$2 x (x + 1)$ $=$ $1$
$2 x^{2} + 2 x$ $=$ $1$ $- 1$
$2 x^{2} + 2 x - 1$ $=$ $0$
Berechne nun die Diskriminante, um die Anzahl der Lösungen zu bestimmen.
$\begin{array}{l} D = 4 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) \\ = 12 > 0 \\ \Rightarrow 2 L \ddot{o} s u n g e n \end{array}$
Setze die Diskriminante in die Mitternachtsformel ein.
Erste Lösung $x_{1}$
$x_{1} = \frac{- 2 + \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{- 2 + \sqrt{12}}{2 \cdot 2} \approx \frac{56}{153}$
Setze $x_{1}$ in einen der Funktionsterme ein, um den y-Wert des Schnittpunktes, $y_{1}$ , zu berechnen.
$y_{1} = \frac{56}{153} + 1 = 1 \frac{56}{153}$
$\Rightarrow S_{1} (x_{1} | y_{1}) = S_{1} (\frac{56}{153} | 1 \frac{56}{153})$
Zweite Lösung $x_{2}$
$x_{2} = \frac{- 2 - \sqrt{12}}{2 \cdot 2} \approx - 1 \frac{56}{153}$
Setze $x_{2}$ in eine der Funktionsterme ein, um den y-Wert des Schnittpunktes, $y_{2}$ , auszurechnen.
$y_{2} = - 1 \frac{56}{153} + 1 = \frac{56}{153}$
$\Rightarrow S_{2} (x_{2} | y_{2}) = S_{2} (- 1 \frac{56}{153} | \frac{56}{153})$
5
Beschreibe, worin sich die Parabeln $y = 3 x^{2} - 18 x + 27$ und $y = \frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 3$ unterscheiden, indem du sie in Scheitelpunktsform umwandelst.

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelform
$y$ $=$ $3 x^{2} - 18 x + 27$
↓
Klammere aus.
$y$ $=$ $3 [x^{2} - 6 x + 9]$
↓
Ergänze quadratisch.
$y$ $=$ $3 \cdot {(x - 3)}^{2}$
Nun kannst du den Scheitel $S (3 | 0)$ ablesen
$y$ $=$ $\frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 3$
↓
Klammere aus.
$y$ $=$ $\frac{1}{3} [x^{2} - 6 x + 9]$
↓
Ergänze quadratisch.
$y$ $=$ $y = \frac{1}{3} {(x - 3)}^{2}$
Nun kannst du den Scheitel $S (3 | 0)$ ablesen
Die beiden Parabeln haben den gleichen Scheitel und sind nach oben geöffnet;
Die erste ist jedoch enger und die zweite weiter.
6
Bestimme jeweils die maximale Definitionsmenge und untersuche, ob die Terme $\frac{a - 2}{8 - 8 a + 2 a^{2}}$ und $\frac{1}{2 a - 4}$ äquivalent sind.

For this task you need the following basic knowledge: quadratische Funktionen
Definitionsmenge bestimmen
Bestimme zuerst die Definitionsmengen.
Der Nenner des darf nicht Null werden. Bestimme also die Werte für a, die nicht in den Nenner eingesetzt werden dürfen.
Definitionsmenge von $\frac{a - 2}{8 - 8 a + 2 a^{2}}$
Der Nenner von $\frac{a - 2}{8 - 8 a + 2 a^{2}}$ ist $8 - 8 a + 2 a^{2}$ .
$8 - 8 a + 2 a^{2}$ $=$ $0$
↓
Klammere 2 aus.
$2 \cdot (4 - 4 a + a^{2})$ $=$ $0$ $: 2$
$4 - 4 a + a^{2}$ $=$ $0$
↓
Verwende die 2. binomische Formel.
${(a - 2)}^{2}$ $=$ $0$
Die Klammer $(a - 2)$ ist $0$ , wenn $a = 2$ ist.
$\Rightarrow D_{1} = ℝ \ {2}$
Definitionsmenge von $\frac{1}{2 a - 4}$
Der Nenner von $\frac{1}{2 a - 4}$ ist $2 a - 4$ .
$2 a - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
$2 a$ $=$ $4$ $: 2$
$a$ $=$ $2$
$D_{2} = ℝ ∖ {2}$
Äquivalenz überprüfen
Vereinfache die Gleichung $\frac{a - 2}{2 (a - 2)^{2}}$ so weit wie möglich um herauszufinden, ob $\frac{a - 2}{2 (a - 2)^{2}} = \frac{1}{2 a - 4}$ gilt.
Kürze dafür zuerst den Bruch mit $(a - 2)$ kürzen.
$\frac{a - 2}{2 (a - 2)^{2}}$ $=$ $\frac{1}{2 (a - 2)}$
↓
Vereinfache den Nenner.
$=$ $\frac{1}{2 a - 4}$
$\Rightarrow$ Die beiden Terme sind äquivalent

Christian, Manfred und Peter sollten als Hausaufgabe die Gleichung $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ graphisch lösen. Sie sind dabei unterschiedlich vorgegangen, aber alle auf die gleichen Näherungslösungen $x_{1} \approx - 0,7$ und $x_{2} \approx 2,7$ gekommen.

a. Überprüfe die Näherungslösungen rechnerisch.

b. Erläutere die Vorgehensweisen von Christian, Manfred und Peter.

c. Ermittle mit jedem Verfahren die Lösungen der Gleichung $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ .

d. Manfred und Peter sind von Christians Methode begeistert und versuchen, damit die Gleichung $2 x^{2} - x - 6 = 0$ zu lösen.

Sie gehen dabei aber unterschiedlich vor (siehe nachstehende Abbildungen). Welche Ergebnisse erhalten sie? Überprüfe rechnerisch. Wer von beiden ist deiner Meinung nach geschickter vorgegangen? Begründe.

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktionen

Teilaufgabe a

Setze die Funktion gleich 0, um die Nullstellen zu bestimmen.

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Nun kannst du die Mitternachsformel anwenden. Berechne hierfür die Diskriminante D.

$D = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 12$

$\Rightarrow$ Die Diskriminante ist positiv, also hat die Gleichung $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ zwei Lösungen.

Bestimme nun die Lösungen:

$x_{1} = \frac{2 + \sqrt{12}}{2} = 1 + \sqrt{3} \approx 2,7$

$x_{2} = \frac{2 - \sqrt{12}}{2} = 1 - \sqrt{3} \approx 0,7$

Teilaufgabe b

Vorgehen von Christian:

Christian bestimmt den Schnittpunkt einer Normalparabel $f (x) = x^{2}$ mit einer Geraden. Wir können die gegebene Gleichung wie folgt umformen:

$x^{2} - 2 x - 2$	$=$	$0$
$x^{2} - (2 x + 2)$	$=$	$0$	$+ (2 x + 2)$
$x^{2}$	$=$	$2 x + 2$

Christian zeichnet also eine Parabel mit dem Funktionsterm $f (x) = x^{2}$ und eine Geraden mit dem Funktionsterm $g (x) = 2 x + 2$ . Er liest dann deren Schnittpunkt ab.

Vorgehen von Manfred:

Manfred liest den Schnittpunkt einer konstanten Funktion mit einer Parabel ab. Er kommt auf diese Idee durch folgende Termumformungen:

$x^{2} - 2 x - 2$	$=$	$0$
	↓	Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
$x^{2} - 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 2$	$=$	$0$
	↓	Binomische Formel anwenden.
${(x - 1)}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
${(x - 1)}^{2} - 1$	$=$	$2$

Manfred zeichnet also eine Parabel mit dem Funktionsterm $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 1$ und eine konstante Funktion mit dem Funktionsterm $g (x) = 2$ . Er liest dann deren Schnittpunkt ab.

Vorgehen von Peter:

Peter zeichnet eine Parabel und bestimmt die Nullstellen, indem er die Schnittpunkte mit der x-Achse abliest.

$x^{2} - 2 x - 2$	$=$	$0$
	↓	Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
$x^{2} - 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 2$	$=$	$0$
	↓	Binomische Formel anwenden.
${(x - 1)}^{2} - 1 - 2$	$=$	$0$
${(x - 1)}^{2} - 3$	$=$	$0$

Peter zeichnet die Parabel mit dem Funktionsterm in Scheitelpunktsform $f (x) = (x - 1)^{2} - 3$ .

Teilaufgabe c

Bestimme nun graphisch die Lösung der Gleichung $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ mit den verschiedenen Verfahren von Christian, Manfred und Peter.

Christians Methode:

Christian bestimmt den Schnittpunkt einer Normalparabel $f (x) = x^{2}$ mit einer Geraden. Wir können die gegebene Gleichung wie folgt umformen:

$x^{2} + 3 x + 2$	$=$	$0$	$- 3 x - 2$
$x^{2}$	$=$	$- 3 x - 2$

Christian setzt die Normalparabel einer Geraden gleich, um so den Schnittpunkt zu berechnen.

Er erhält so die Lösungen $x_{1} \approx - 2$ und $x_{2} \approx - 1$ .

Manfreds Methode:

Manfred liest den Schnittpunkt einer konstanten Funktion mit einer Parabel ab. Er kommt auf diese Idee durch folgende Termumformungen:

$x^{2} + 3 x + 2$	$=$	$0$
	↓	Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
$x^{2} + 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 2$	$=$	$0$
${(x + \frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 2$	$=$	$0$
	↓	Binomische Formel anwenden.
${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + 2$	$=$	$0$	$- 2$
${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$	$=$	$- 2$

Manfred liest so die Lösungen $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = - 2$ ab.

Peters Lösung:

Peter zeichnet eine Parabel und bestimmt die Nullstellen, indem er die Schnittpunkte mit der x-Achse abliest.

$x^{2} + 3 x + 2$	$=$	$0$
	↓	Quadratische Ergänzung, um auf die Scheitelform zu kommen.
$x^{2} + 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 2$	$=$	$0$
${(x + \frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 2$	$=$	$0$
	↓	Binomische Formel anwenden.
${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + 2$	$=$	$0$
	↓	Hauptnenner bilden.
${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + \frac{8}{4}$	$=$	$0$
${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$	$=$	$0$

Peter liest die Nullstellen $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = - 1$ ab.

Teilaufgabe d

Manfred:

Manfred ging wie folgt vor:

$2 x^{2} - x - 6$	$=$	$0$	$+ x + 6$
$2 x^{2}$	$=$	$x + 6$	$: 2$
$x^{2}$	$=$	$\frac{1}{2} x - 3$

Manfred teilt durch 2, um die Normalparabel zu erhalten und damit die Gerade zu schneiden.

Peter:

Peter macht dies nicht, sondern zeichnet die Parabel gleich mit der Stauchung um 2. Genauso wie Manfred findet er durch das Schneiden mit der Gerade die Lösung der Gleichung.

$\Rightarrow$ Manfreds Methode ist praktischer, da sich eine Normalparabel einfacher zeichnen lässt als eine mit Stauchung.

8
Im folgenden Koordinatensystem ist der Graph einer Parabel abgebildet.
a) Gib die Funktionsgleichung der abgebildeten Parabel an.
b) Stelle dir vor, dass sich die Parabel in einem beliebig großen Koordinatensystem beliebig fortsetzt. Was ist dann die Definitionsmenge obiger Funktion?
c) Angenommen, wir hätten zum Zeichnen des Graphen eine (beliebig große) Wertetabelle berechnet: Welches wird mit Sicherheit der größte y – Wert in dieser Tabelle sein?
d) Markiere im Graphen die Nullstellen und gib diese an.
e) Gib nun die Wertemenge der Funktion an.
f) Setze die beiden in c) ermittelten Nullstellen in die Funktionsgleichung ein und bestätige durch Rechnung, dass es tatsächlich Nullstellen sind.

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktion
Teilaufgabe a)
Den Scheitel der Prabel kannst du im Koordinatensystem ablesen. Er liegt bei $S (3 | 4)$ .
Bestimme nun den Öffnungsfaktor a. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, hat a ein negatives Vorzeichen.
Allgemein hat eine Parabel in Scheitelpunktsform die Form:
$f (x) = a (x - x_{s})^{2} + y_{s}$
Setze den Scheitel ein:
$f (x) = a (x - 3)^{2} + 4$
Der Punkt (1|0) liegt auf dem Graphen. Setze den Punkt ein, um $a$ zu bestimmen:
$0 = a (1 - 3)^{2} + 4$
$\Rightarrow a = - 1$
Gib die vollständige Parabelgleichung an:
$f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$
Teilaufgabe b)
Bestimme die Definitionsmenge der Funktion:
$f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$
Es existiert keine Einschränkung der Defintionsmenge, also:
$D_{f} = ℝ$
Teilaufgabe c)
Bestimme den maximalen Wert in der Wertemenge der Funktion.
$f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$
Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der höchste Punkt der Parabel die y-Koordinate des Scheitelpunktes .
$y_{\max} = 4$
Teilaufgabe d)
Berechne die Nullstellen von $f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$ .
Bestimme die Nullstellen anhand der Zeichnung.
$x_{1} = 1$ und $x_{2} = 5$
Teilaufgabe e)
Gib die Wertemenge der Funktion an.
Aus Teilaufgabe c) weißt du bereits, dass $y_{m a x} = 4$ ist.
Die Wertemenge der Funktion muss also kleiner als y=4 sein, da die Parabel nach unten geöffnet ist und der Scheitel den höchsten Punkt darstellt.
Die y-Werte werden für unendlich große Zahlen und unendlich kleine Zahlen unendlich klein. Somit ist der Wertebereich:
$W =] - \infty; 4]$
Teilaufgabe f)
Berechne die Nullstellen der Funktion.
$f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$
Setze $x = 1$ in die Funktionsgleichung ein:
$f_{1} (1) = - (1 - 3)^{2} + 4 = - 2^{2} + 4 = - 4 + 4 = 0$
$\Rightarrow x = 1$ ist eine Nullstelle.
Setze $x = 5$ in die Funktionsgleichung ein.
$f (5) = - (5 - 3)^{2} + 4 = - 4 + 4 = 0$
$\Rightarrow x = 5$ ist eine Nullstelle.

Berechne für folgende Parabel die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Zeichne den Graphen.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 5$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelpunkt einer Parabel
$f (x)$ $=$ $x^{2} + 2 x + 5$
↓
Quadratische Ergänzung.
$=$ $x^{2} + 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5$
↓
In eine Binomische Formel umschreiben
$=$ ${(x + 1)}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5$
$=$ ${(x + 1)}^{2} - 1 + 5$
$=$ ${(x + 1)}^{2} + 4$
$\to$ Scheitelpunkt: $S (- 1 ∣ 4)$
$f (x) = x^{2} + 4 x + 1$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelform einer Parabel
$f (x)$ $=$ $x^{2} + 4 x + 1$
↓
Quadratische Ergänzung.
$=$ $x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
↓
In eine Binomische Formel umschreiben.
$=$ ${(x + \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
$=$ ${(x + 2)}^{2} - 2^{2} + 1$
$=$ ${(x + 2)}^{2} - 4 + 1$
$=$ ${(x + 2)}^{2} - 3$
↓
Scheitelpunkt ablesen
$\to$ Scheitelpunkt: $S (- 2 ∣ - 3)$
$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$

For this task you need the following basic knowledge: Scheitelform einer Parabel
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 4 x + 1$
↓
Quadratische Ergänzung.
$=$ $x^{2} - 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
↓
In eine Binomische Formel umschreiben.
$=$ ${(x - \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
$=$ ${(x - 2)}^{2} - 2^{2} + 1$
$=$ ${(x - 2)}^{2} - 4 + 1$
$=$ ${(x - 2)}^{2} - 3$
↓
Scheitelpunkt ablesen.
$\to$ Scheitelpunkt: $S (2 ∣ - 3)$

$f (x) = x^{2} - 3 x + 3,5$

$f (x) = x^{2} + x - 3$

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$

$f (x) = - x^{2} + 5 x - 5$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + 2$

$f (x) = - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{6}$

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$

10
Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion $f (x) = x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ erfüllt sein, damit $f (x)$ keine Nullstellen besitzt?

For this task you need the following basic knowledge: Diskriminante
Um die Koeffizienten so zu bestimmen, dass $f$ keine Nullstellen hat, betrachtet man die Diskriminante $D$ . Diese gibt an, ob und wie viele Lösungen die Gleichung $x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0$ hat.
$D = a_{1}^{2} - 4 \cdot a_{0}$
Damit $f$ keine Nullstelle hat, muss $D < 0$ gelten, also $a_{1}^{2} < 4 \cdot a_{0}$ .
11
Untersuche die gegenseitige Lage von $f (x)$ und $g (x)$ in Abhängigkeit von $a$ , wenn gilt:
$f (x) = - x^{2} + 1; x \in ℝ$ und $g (x) = a x^{2} - a; x \in ℝ; a \in ℝ^{+}$

For this task you need the following basic knowledge: Schnittpunkte
Da $a$ positiv ist, ist der Graph von $g (x)$ eine nach oben geöffnete Parabel und liegt damit für $a \geq 1$ über dem Graph von $f$ und sonst darunter.
$\begin{array}{rcll} f (x) & = & g (x) \\ - x^{2} + 1 & = & a x^{2} - a & | + a | + x^{2} \\ 1 + a & = & x^{2} (1 + a) & | : (1 + a) \\ x^{2} & = & 1 & | \sqrt{} \\ x & = & \pm 1 \end{array}$

Gegeben sind die quadratischen Funktionen $f (x)$ und $g (x)$ mit $f (x) = - x^{2} - 3 x; x \in ℝ$ und $g (x) = 0,5 x (x + 3); x \in ℝ$

Zeichne die Graphen von $f (x)$ und $g (x)$ in ein Koordinatensystem. Begründe ohne Rechnung, warum sich $f (x)$ und $g (x)$ auf der x-Achse schneiden.

$S (- 1,5 | 2,25)$ ist der Scheitel von $f (x)$ .

Gib den Scheitel von $g (x)$ an.

Die Gerade $x = u$ schneidet den Graphen von $f (x)$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g (x)$ im Punkt $Q$ . Gib $P$ und $Q$ an.

For this task you need the following basic knowledge: Schnittpunkt von Funktionen
Einsetzen von $x = u$ in $f (x)$ :
$f (u) = - u^{2} - 3 u$
Ablesen der Koordinaten
$\to P (u | - u^{2} - 3 u)$
Einsetzen von $x = u$ in $g (x)$ :
$g (u) = 0,5 u (u + 3)$
$\to Q (u | 0,5 u (u + 3))$
Rechtecke
Für $u \in] - 3; 0 [$ ist die Strecke [PQ] eine Seite eines Rechtecks, das den beiden Parabeln einbeschrieben ist. Bestimme den Inhalt des Rechtecks für $u = - 1$ und den Umfang $U$ in Abhängigkeit von $u$ .
Im Bild ist $u = - 2,5$ :

For this task you need the following basic knowledge: Rechtecke
Es gilt: $P Q = | y_{P} - y_{Q} | = | - u^{2} - 3 u - 0,5 u (u + 3) | = | - 1,5 u^{2} - 4,5 u |$
Wegen der Achsensymmetrie der beiden Parabeln zur Geraden $x = - 1,5$ , gilt für die x-Koordinate der Punkte $R$ und $S$ :
$x_{R} = x_{S} = - u - 3$
Damit folgt: $P S = | x_{P} - x_{S} | = | 2 u + 3 |$ und für $u = - 1$ ergibt sich: ${P S}_{u = - 1} = | 2 \cdot (- 1) + 3 | = 1$
Da für $x \in] - 3; 0 [$ die Funktion $f (x)$ oberhalb von $g (x)$ verläuft, können die Betragsstriche auch weggelassen werden, also $P Q = - 1,5 u^{2} - 4,5 u$ .
Für $u = - 1$ gilt somit für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks PQRS: $A_{u = - 1} = {P Q}_{u = - 1} \cdot {P S}_{u = - 1} = - 1,5 + 4,5 = 3$
Der Umfang beträgt allgemein: $U = 2 (| 2 u + 3 | - 1,5 u^{2} - 4,5 u)$
Verschiebe die Parabel $g (x)$ in y-Richtung so, dass die verschobene Parabel den Graphen von $f (x)$ berührt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes $B$ .

For this task you need the following basic knowledge: Parabeln
Damit sich die Graphen der Funktion $f (x)$ und der verschobenen Funktion $g (x) + c$ an der Stelle $x$ berühren, muss zunächst $f (x) = g (x) + c$ gelten. Um sicherzustellen, dass ein Berührpunkt vorliegt, musst du zeigen, dass die Funktion $f (x) - (g (x) + c)$ bei $x$ eine doppelte Nullstelle besitzt.
$f (x) = g (x) + c$
$\Leftrightarrow - x^{2} - 3 x = 0,5 x (x + 3) + c$
$\Leftrightarrow - 1,5 x^{2} - 4,5 x - c = 0$
Damit sich eine doppelte Nullstelle ergibt, muss für die Diskriminante $D = 0$ gelten.
Die x-Koordinate des Berührpunkts ergibt sich dann als $\frac{- (- 4,5) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot (- 1,5)} = - 1,5$ .
Da dies auch die x-Koordinate des Scheitels des Graphen von $f$ ist, gilt: $B = S = (- 1,5 | 2,25)$ .
Bestimme $a$ so, dass $f (a) - f (a + 1) = 4$ ist.

For this task you need the following basic knowledge: Parabeln
$f (a) - f (a + 1)$ $=$ $- a^{2} - 3 a + (a + 1)^{2} + 3 a + 3$
↓
Binomische Formel ausmultiplizieren:
$=$ $- a^{2} + a^{2} + 2 a + 1 + 3$
$=$ $2 a + 4$
Für $f (a) - f (a + 1) = 4$ muss also $a = 0$ gelten.

Gegeben sind die quadratischen Funktionen $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ und $g (x) = a x^{2}$ .

Bestimme $a$ so, dass der Graph von $g$ den Graphen von $f$ berührt.

14
Zeige, dass es keinen Wert von $a$ gibt, sodass der Graph von $f (x) = a x^{2} + 1$ die Normalparabel berührt.

For this task you need the following basic knowledge: Berührpunkt von zwei Funktionen
Die Normalparabel ist der Graph der Funktion $g (x) = x^{2}$ . Um den Berührpunkt der Normalparabel und dem Graphen von $f (x) = a x^{2} + 1$ zu erhalten, setze die Funktionen gleich.
$f (x)$ $=$ $g (x)$
$a x^{2} + 1$ $=$ $x^{2}$ $- x^{2}$
$a x^{2} + 1 - x^{2}$ $=$ $0$
$(a - 1) x^{2} + 1$ $=$ $0$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{0 \pm \sqrt{0^{2} - 4 \cdot (a - 1) \cdot 1}}{2 \cdot (a - 1)}$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{\sqrt{- 4 a + 4}}{2 a - 2}$
Damit sich die Graphen von f und g berühren, muss die Gleichung eine doppelte Nullstelle besitzen, also $x_{1} = x_{2}$ gelten. Damit das stimmt, muss die Diskriminante $D = - 4 a + 4$ Null sein.
$D$ $=$ $0$
$- 4 a + 4$ $=$ $0$ $- 4$
$- 4 a$ $=$ $- 4$ $: (- 4)$
$a$ $=$ $1$
Der Parameter $a$ müsste also 1 sein, damit sich die beiden Graphen der Funktionen berühren. Der Berührpunkt läge an der Stelle $x_{1,2} = \frac{\sqrt{- 4 \cdot 𝟏 + 4}}{2 \cdot 𝟏 - 2} = \frac{0}{0}$ .
Da man jedoch nicht durch Null teilen darf, existiert kein Berührpunkt! Es gibt keinen Wert $a$ , sodass sich der Graph von f und der Normalparabel berühren.
15
Eine Parabel mit der Funktionsgleichung $f (x)$ hat ihren Scheitel in $S (0 | 6)$ und schneidet die x-Achse im Punkt $P_{x} (2 \sqrt{3} | 0)$
Bestimme die Funktionsgleichung und zeichne den Graphen.

For this task you need the following basic knowledge: quadratische Funktionen
geg.: $S (0 | 6)$ ; $P_{x} (2 \sqrt{3} | 0)$
Stelle mit Hilfe des gegebenen Scheitelpunkts die Funktionsgleichung von $f$ in Scheitelform auf.
$S (0 | 6) \Rightarrow f (x) = a (x - 0)^{2} + 6 = a x^{2} + 6$
Setze den Punkt $P_{x} (2 \sqrt{3} | 0)$ in die Gleichung ein und löse nach $a$ auf.
$0$ $=$ $a \cdot (2 \sqrt{3})^{2} + 6$
$0$ $=$ $a \cdot (4 \cdot 3) + 6$
$0$ $=$ $12 a + 6$ $- 12 a$
$- 12 a$ $=$ $6$ $: (- 12)$
$a$ $=$ $- \frac{6}{12}$
$a$ $=$ $- \frac{1}{2}$
Setze $a = - \frac{1}{2}$ in $f (x) = a x^{2} + 6$ ein.
$\Rightarrow f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 6$
16
Ermitteln Sie die Koeffizienten $a_{2}$ und $a_{1}$ so, dass die Funktion $f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ an den Stellen $x = - 1$ und $x = 0,5$ die gleichen Funktionswerte hat wie die Funktion $g (x) = 2 x - 1$ .

Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g
Die Funktionen $f$ und $g$ sollen für $x = - 1$ und $x = 0,5$ , den gleichen Funktionswert besitzen. Bestimme diese gemeinsamen Punkte, in dem du $x = - 1$ und $x = 0,5$ in $g (x)$ einsetzt.
$g (x) = 2 x - 1$
$g (- 1) = 2 \cdot (- 1) - 1 = - 3$
$\to$ $P_{1} (- 1 | - 3)$
$g (0,5) = 2 \cdot 0,5 - 1 = 0$
$\to P_{2} (0,5 | 0)$
Die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ müssen nun auch auf dem Graphen von $f$ liegen.
Einsetzen der Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ in den Funktionsterm von $f$
$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$
Setze $P_{1} (- 1 | - 3)$ in $f (x)$ ein.
$f (- 1)$ $=$ $- 3$
↓
$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ einsetzen.
$a_{2} \cdot {(- 1)}^{2} + a_{1} \cdot (- 1) + 3$ $=$ $- 3$
↓
Vereinfache.
$a_{2} - a_{1} + 3$ $=$ $- 3$
$a_{1}$ und $a_{2}$ müssen also diese Gleichung erfüllen, damit $f (- 1) = - 3$ ist und $P_{1}$ auf dem Graphen von $f$ liegt.
Setze $P_{2} (0,5 | 0)$ in $f (x)$ ein.
$f (0,5)$ $=$ $0$
↓
$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ einsetzen.
$a_{2} \cdot {(0,5)}^{2} + a_{1} \cdot 0,5 + 3$ $=$ $0$
↓
Vereinfache.
$0,25 a_{2} + 0,5 a_{1} + 3$ $=$ $0$
$a_{1} $ und $a_{2} $ müssen also auch diese Gleichung erfüllen, damit $f (0,5) = 0$ ist und $P_{2}$ auf dem Graphen von $f$ liegt.
Gleichungssystem lösen
Nun hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten ( $a_{1}$ und $a_{2}$ ) und kannst dieses lösen.
$\begin{array}{rrcl} I) & a_{2} - a_{1} + 3 & = & - 3 \\ I I) & 0,25 a_{2} + 0,5 a_{1} + 3 & = & 0 \end{array}$
Nimm die $I I)$ Gleichung $\cdot 4$ , um sie zu vereinfachen.
$\begin{array}{rrcl} I) & a_{2} - a_{1} + 3 & = & - 3 \\ I I^{'}) & a_{2} + 2 a_{1} + 12 & = & 0 \end{array}$
Wende nun das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{rrcll} I) - I I^{'}) : & (a_{2} - a_{1} + 3) - (a_{2} + 2 a_{1} + 12) & = & - 3 - 0 \\ a_{2} - a_{1} + 3 - a_{2} - 2 a_{1} - 12 & = & - 3 \\ - 3 a_{1} - 9 & = & - 3 & | + 9 \\ - 3 a_{1} & = & 6 & | : (- 3) \\ a_{1} & = & - 2 \end{array}$
Jetzt kannst du $a_{1}$ in Gleichung $I)$ , $I I)$ oder $I I^{'})$ einsetzen und nach $a_{2}$ auflösen. Das Ergebnis sollte immer das Gleiche sein.
Einsetzen in $I)$ liefert:
$\begin{array}{rrcl} I) & a_{2} - (- 2) + 3 & = & - 3 \\ a_{2} + 2 + 3 & = & - 3 \\ a_{2} + 5 & = & - 3 & | - 5 \\ a_{2} & = & - 8 \end{array}$
Du hast also jetzt $a_{1}$ und $a_{2}$ bestimmt. Setz die Werte noch in $f$ ein und du bist fertig.
$\Rightarrow$ $f (x) = - 8 x^{2} - 2 x + 3$

Gegeben sind die Funktionsgleichungen folgender Parabeln:

1.Bestimme die Scheitelform und den Scheitelpunkt.

2.Berechne die Achsenschnittpunkte.

3.Beschreibe schrittweise, wie f(x) aus der Normalparabel entsteht und wie sie geöffnet ist.

4.Zeichne den Graphen von f(x) in ein geeignetes Koordinatensystem.

$f (x) = x^{2} - 4 x + 2$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 2$

$f (x) = - x^{2} - 4 x + 3$

$f (x) = - x^{2} + 8 x - 9$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 5$

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 6$

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x - 2$

$f (x) = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{3}{4} x + 6$

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1$ .

1.Berechne den Scheitelpunkt mit Hilfe der Scheitelform.

2.Berechne die Achsenschnittpunkte.

3.Die Parabel soll so verschoben werden, dass der Punkt der Parabel, der auf der y-Achse liegt durch den Punkt P (-3| -1) verläuft. Wie lautet die Funktionsgleichung g(x) der verschobenen Parabel?

4.Wo schneiden sich beide Parabeln?

5.Zeichne beide Parabeln in ein geeignetes Koordinatensystem.

19
Bei welcher der Folgenden Funktionen handelt es sich um quadratische Funktionen?
$f (x) = x^{2}$
$f (x) = \sqrt{5} x^{2}$
$f (x) = - 4 x^{2} + 5 x + 9$
$f (x) = x + 1$
$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$
$f (x) = 2 x^{2} + 4 + x^{3}$

For this task you need the following basic knowledge: Quadratische Funktionen
In dieser Aufgabe geht es darum, unter einer Menge aus vorgegebenen Funktionen die quadratischen Funktionen herauszufinden.
$f (x) = \sqrt{5} x^{2}$
Die höchste Potenz in der die Variable auftritt besitzt den Exponenten 2, deshalb ist die Funktion quadratisch. Die Wurzel beeinflusst die Funktion hierbei nicht, da sie nur ein Faktor ist.
$ f (x) = - 4 x 2 + 5 x + 9$
Hier handelt es sich um eine quadratische Funktion, da sie die Form $f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $a = - 4$ und $b = 5$ und $c = 9$ besitzt.
$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$
Hier liegt der Gedanke nahe, dass es sich um eine quadratische Funktion handeln könnte, allerdings steht hier der quadratische Term im Nenner eines Bruchs, weshalb es sich hier um eine gebrochenrationale Funktion handelt.
$f (x) = 2 x^{2} + 4 + x^{3}$
Das $x^{2}$ im ersten Summanden könnte dich vermuten lassen, dass es sich hierbei um eine quadratische Funktion handelt. Da es jedoch einen Summanden mit einer höheren Potenz von $x$ gibt, nämlich $x^{3}$ , ist die Funktion ein Polynom höherer Ordnung.

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
	↓	Für x gleich 0 setzen.
$f (0)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
$f (0)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 2$
$f (0)$	$=$	$0 + 0 + 2$
$f (0)$	$=$	$2$

$f (x)$	$=$	$- x^{2} + 8 x - 9$
	↓	Für x gleich 0 setzen.
$f (0)$	$=$	$0 + 0 - 9$
$f (0)$	$=$	$- 9$

$f (x)$	$=$	$x^{2} + t x + 1$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$x^{2} + t x + (\frac{t}{2})^{2} - (\frac{t}{2})^{2} + 1$
	↓	Binom bilden
	$=$	$(x + \frac{t}{2})^{2} + 1 - (\frac{t}{2})^{2}$
	↓	Scheitelpunktform bestimmen
	$=$	$(x + \frac{t}{2})^{2} + 1 - \frac{t^{2}}{4}$

$f (x)$	$=$	$- x^{2} - t x - 2$
	$=$	$- [x^{2} + t x + \frac{t^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
	$=$	$- [(x + \frac{t}{2})^{2} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
	$=$	$(x + \frac{t}{2})^{2} + \frac{t^{2}}{4} - 2$

$f (x)$	$=$	$- x^{2} - t x - 2$
	↓	Ergänze quadratisch
	$=$	$- [x^{2} + t x + \frac{t^{2}}{4} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
	↓	Binomische Formel
	$=$	$- [(x + \frac{t}{2})^{2} - \frac{t^{2}}{4}] - 2$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$- (x + \frac{t}{2})^{2} + \frac{t^{2}}{4} - 2$

$y_{a}$	$=$	$y_{b}$
$x + 1$	$=$	$\frac{1}{2 x}$	$\cdot 2 x$
$2 x (x + 1)$	$=$	$1$
$2 x^{2} + 2 x$	$=$	$1$	$- 1$
$2 x^{2} + 2 x - 1$	$=$	$0$

$y$	$=$	$3 x^{2} - 18 x + 27$
	↓	Klammere aus.
$y$	$=$	$3 [x^{2} - 6 x + 9]$
	↓	Ergänze quadratisch.
$y$	$=$	$3 \cdot {(x - 3)}^{2}$

$y$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 3$
	↓	Klammere aus.
$y$	$=$	$\frac{1}{3} [x^{2} - 6 x + 9]$
	↓	Ergänze quadratisch.
$y$	$=$	$y = \frac{1}{3} {(x - 3)}^{2}$

$8 - 8 a + 2 a^{2}$	$=$	$0$
	↓	Klammere 2 aus.
$2 \cdot (4 - 4 a + a^{2})$	$=$	$0$	$: 2$
$4 - 4 a + a^{2}$	$=$	$0$
	↓	Verwende die 2. binomische Formel.
${(a - 2)}^{2}$	$=$	$0$

$\frac{a - 2}{2 (a - 2)^{2}}$	$=$	$\frac{1}{2 (a - 2)}$
	↓	Vereinfache den Nenner.
	$=$	$\frac{1}{2 a - 4}$

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 2 x + 5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} + 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben
	$=$	${(x + 1)}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5$
	$=$	${(x + 1)}^{2} - 1 + 5$
	$=$	${(x + 1)}^{2} + 4$

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 4 x + 1$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	${(x + \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 2^{2} + 1$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 4 + 1$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 3$
	↓	Scheitelpunkt ablesen

	$=$	$- x^{2} + 5 x - 5$
	↓	Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
	$=$	$- (x^{2} - 5 x + 5)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$- (x^{2} - 5 x + {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$- ({(x - \frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5)$
	$=$	$- ({(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + 5)$
	↓	5 in einen unechten Bruch umschreiben
	$=$	$- ({(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + \frac{20}{4})$
	$=$	$- ({(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{5}{4})$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 4 x + 1$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} - 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	${(x - \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 1$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 2^{2} + 1$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 4 + 1$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 3$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 3 x + 3,5$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} - 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 3,5$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	${(x - \frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2} + 3,5$
	$=$	${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + 3,5$
	↓	$\frac{9}{4} = 2,25$
	$=$	${(x - \frac{3}{2})}^{2} - 2,25 + 3,5$
	$=$	${(x - \frac{3}{2})}^{2} + 1,25$
	↓	$1,25 = \frac{5}{4}$ Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$x^{2} + x - 3$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} + x + {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} - 3$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	${(x + \frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} - 3$
	$=$	${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} - 3$
	↓	3 in einen unechten Bruch umwandeln
	$=$	${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{12}$
	$=$	${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$- x^{2} + 2 x + 1$
	↓	Distributivgesetz anwenden. Minus ausklammern.
	$=$
	$=$	$- (x^{2} - 2 x - 1)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$- (x^{2} - 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 1)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$- ({(x - \frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 1)$
	$=$	$- ({(x - 1)}^{2} - 1^{2} - 1)$
	$=$	$- ({(x - 1)}^{2} - 1 - 1)$
	$=$	$- ({(x - 1)}^{2} - 2)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- {(x - 1)}^{2} + 2$
	↓	Scheitelpunkt ablesen.

	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2$
	↓	Distributivgesetz anwenden. $\frac{1}{2}$ ausklammern
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} + x : \frac{1}{2} + 2 : \frac{1}{2})$
	↓	Mit dem Kehrwert multiplizieren.
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} + x \cdot \frac{2}{1} + 2 \cdot \frac{2}{1})$
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} + 2 x + 4)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\frac{1}{2} (x^{2} + 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 4)$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x + \frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 4)$
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x + 1)}^{2} - 1^{2} + 4)$
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x + 1)}^{2} - 1 + 4)$
	$=$	$\frac{1}{2} ({(x + 1)}^{2} + 3)$
	↓	Distributivgesetz anweden.
	$=$	$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{2} \cdot 3$
	$=$	$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + \frac{3}{2}$
	↓	Scheitelpunkt ablesen

$f (x)$	$=$	$- \frac{3}{4} x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{6}$
	↓	Distributivgesetz anweden. $- \frac{3}{4}$ ausklammern.
	$=$	$- \frac{3}{4} (x^{2} - \frac{8}{9} x + \frac{2}{9})$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$- \frac{3}{4} (x^{2} - \frac{8}{9} x + {(\frac{4}{9})}^{2} - {(\frac{4}{9})}^{2} + \frac{2}{9})$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	$- \frac{3}{4} ({(x - \frac{4}{9})}^{2} - {(\frac{4}{9})}^{2} + \frac{2}{9})$
	$=$	$- \frac{3}{4} ({(x - \frac{4}{9})}^{2} - \frac{16}{81} + \frac{2}{9})$
	↓	Gemeinsamen Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern.
	$=$	$- \frac{3}{4} ({(x - \frac{4}{9})}^{2} - \frac{16}{81} + \frac{18}{81})$
	$=$	$- \frac{3}{4} ({(x - \frac{4}{9})}^{2} + \frac{2}{81})$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$- \frac{3}{4} {(x - \frac{4}{9})}^{2} + \frac{2}{81} \cdot (- \frac{3}{4})$
	↓	Mit 3 und 2 kürzen.
	$=$	$- \frac{3}{4} {(x - \frac{4}{9})}^{2} + \frac{1}{27} \cdot (- \frac{1}{2})$
	$=$	$- \frac{3}{4} {(x - \frac{4}{9})}^{2} - \frac{1}{54}$

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$
	↓	Distributivgesetz anwenden. $\frac{1}{3}$ ausklammern.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - \frac{2}{3} x : \frac{1}{3} + \frac{5}{3} : \frac{1}{3})$
	↓	Mit dem Kehwert multiplizieren.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - \frac{2}{3} x \cdot \frac{3}{1} + \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{1})$
	↓	Jeweils mit 3 kürzen.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - \frac{2}{1} x \cdot \frac{1}{1} + \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{1})$
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - 2 x + 5)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\frac{1}{3} (x^{2} - 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5)$
	↓	In eine binomische Formel umschreiben.
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - \frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 5)$
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 1^{2} + 5)$
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} - 1 + 5)$
	$=$	$\frac{1}{3} ({(x - 1)}^{2} + 4)$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} + 4 \cdot \frac{1}{3}$
	$=$	$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} + \frac{4}{3}$

$f (x)$	$=$	$- x - 3 x$
	↓	$f (x)$ gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$- x^{2} - 3 x$	$+ x^{2}$
$x^{2}$	$=$	$- 3 x$	$: x$
$x$	$=$	$- 3$

$g (x)$	$=$	$0,5 x (x + 3)$
	↓	$g (x)$ gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$0,5 (x + 3)$
	↓	Nur einer der Faktoren muss Null ergeben, um die ganze Funktion gleich 0 werden zu lassen.
$0$	$=$	$x + 3$
$x$	$=$	$- 3$

$g (x)$	$=$	$0,5 x (x + 3)$
	↓	Scheitelform bestimmen. Dafür erst das x die Klammer multiplizieren. $\to$ Distributivgesetz
	$=$	$0,5 (x^{2} + 3 x)$
	↓	Quadratische Ergänzung
	$=$	$0,5 (x^{2} + 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2})$
	↓	In eine Binomische Formel umformen.
	$=$	$0,5 ({(x + \frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2})$	${(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$
	$=$	$0,5 ({(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4})$
	↓	Distributivgesetz anwenden.
	$=$	$0,5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} \cdot 0,5$	$0,5 = \frac{1}{2}$
	↓	Multiplikation
	$=$	$0,5 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{8}$

Mixed exercises: Quadratic functions

1.Lösungsweg: Betrachtung der Diskriminanten

2.Lösungsweg: Scheitelpunkt ermitteln

1.Lösungsmöglichkeit: Diskriminante

2.Lösungsmöglichkeit: Scheitelform

1.Lösungsweg: Achsensymmetrie

2.Lösungsweg: Scheitelform

Graphische Lösung:

Parabel ohne Schnittpunkt

Parabel mit einem Schnittpunkt

Parabel mit zwei Schnittpunkten

Schnittpunkte bestimmen

Erste Lösung x1

Zweite Lösung x2

Definitionsmenge bestimmen

Definitionsmenge von a−28−8a+2a2

Definitionsmenge von 12a−4

Äquivalenz überprüfen

Teilaufgabe a

Teilaufgabe b

Vorgehen von Christian:

Christian zeichnet also eine Parabel mit dem Funktionsterm f(x)=x2 und eine Geraden mit dem Funktionsterm g(x)=2x+2. Er liest dann deren Schnittpunkt ab.

Vorgehen von Manfred:

Vorgehen von Peter:

Teilaufgabe c

Bestimme nun graphisch die Lösung der Gleichung x2+3x+2=0 mit den verschiedenen Verfahren von Christian, Manfred und Peter.

Christians Methode:

Manfreds Methode:

Peters Lösung:

Teilaufgabe d

Manfred:

Peter:

Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)

Bestimme die Definitionsmenge der Funktion:

Teilaufgabe c)

Bestimme den maximalen Wert in der Wertemenge der Funktion.

Teilaufgabe d)

Berechne die Nullstellen von f(x)=−(x−3)2+4.

Teilaufgabe e)

Gib die Wertemenge der Funktion an.

Teilaufgabe f)

Berechne die Nullstellen der Funktion.

Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Einsetzen der Punkte P1 und P2 in den Funktionsterm von f

Gleichungssystem lösen

1.Scheitelpunkt berechnen

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

3.Verschiebung

4.Zeichnung

1.Scheitelpunkt berechnen

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

4.Zeichnung

1.Scheitelpunkt berechnen

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

4.Zeichnung

1.Scheitelpunkt berechnen

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

4.Zeichnung

1.Scheitelpunkt berechnen

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

4.Zeichnung

1.Scheitelpunkt berechnen

2.Achsenschnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

3.Verschiebung des Funktionsgraphen

4.Zeichnung

1.Scheitelpunkt berechnen

Erste Lösung $x_{1}$

Zweite Lösung $x_{2}$

Definitionsmenge von $\frac{a - 2}{8 - 8 a + 2 a^{2}}$

Definitionsmenge von $\frac{1}{2 a - 4}$

Christian zeichnet also eine Parabel mit dem Funktionsterm $f (x) = x^{2}$ und eine Geraden mit dem Funktionsterm $g (x) = 2 x + 2$ . Er liest dann deren Schnittpunkt ab.

Bestimme nun graphisch die Lösung der Gleichung $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ mit den verschiedenen Verfahren von Christian, Manfred und Peter.

Berechne die Nullstellen von $f (x) = - (x - 3)^{2} + 4$ .

Einsetzen der Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ in den Funktionsterm von $f$

$f (x) = \sqrt{5} x^{2}$

$ f (x) = - 4 x 2 + 5 x + 9$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x) = 2 x^{2} + 4 + x^{3}$

$f (a) - f (a + 1)$	$=$	$- a^{2} - 3 a + (a + 1)^{2} + 3 a + 3$
	↓	Binomische Formel ausmultiplizieren:
	$=$	$- a^{2} + a^{2} + 2 a + 1 + 3$
	$=$	$2 a + 4$

$f (x)$	$=$	$g (x)$	$- g (x)$
$f (x) - g (x)$	$=$	$0$
	↓	Setze $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ und $g (x) = a x^{2}$ ein.
$(x - 1) (x - 2) - a x^{2}$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere aus.
$x^{2} - 2 x - x + 2 - a x^{2}$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$(1 - a) x^{2} - 3 x + 2$	$=$	$0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an (oder p-q Formel)
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 - a) \cdot 2}}{2 \cdot (1 - a)}$

$D$	$=$	$0$
${(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 - a) \cdot 2$	$=$	$0$
$9 - 4 \cdot (1 - a) \cdot 2$	$=$	$0$
$9 - 8 \cdot (1 - a)$	$=$	$0$
$9 - 8 + 8 a$	$=$	$0$
$1 + 8 a$	$=$	$0$	$- 1$
$8 a$	$=$	$- 1$	$: 8$
$a$	$=$	$- \frac{1}{8}$

$f (x)$	$=$	$g (x)$
$a x^{2} + 1$	$=$	$x^{2}$	$- x^{2}$
$a x^{2} + 1 - x^{2}$	$=$	$0$
$(a - 1) x^{2} + 1$	$=$	$0$
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{0 \pm \sqrt{0^{2} - 4 \cdot (a - 1) \cdot 1}}{2 \cdot (a - 1)}$
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{\sqrt{- 4 a + 4}}{2 a - 2}$

$D$	$=$	$0$
$- 4 a + 4$	$=$	$0$	$- 4$
$- 4 a$	$=$	$- 4$	$: (- 4)$
$a$	$=$	$1$

$0$	$=$	$a \cdot (2 \sqrt{3})^{2} + 6$
$0$	$=$	$a \cdot (4 \cdot 3) + 6$
$0$	$=$	$12 a + 6$	$- 12 a$
$- 12 a$	$=$	$6$	$: (- 12)$
$a$	$=$	$- \frac{6}{12}$
$a$	$=$	$- \frac{1}{2}$

$f (- 1)$	$=$	$- 3$
	↓	$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ einsetzen.
$a_{2} \cdot {(- 1)}^{2} + a_{1} \cdot (- 1) + 3$	$=$	$- 3$
	↓	Vereinfache.
$a_{2} - a_{1} + 3$	$=$	$- 3$

$f (0,5)$	$=$	$0$
	↓	$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ einsetzen.
$a_{2} \cdot {(0,5)}^{2} + a_{1} \cdot 0,5 + 3$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$0,25 a_{2} + 0,5 a_{1} + 3$	$=$	$0$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 4 x + 2$
	↓	In die Scheitelform umwandeln. Dazu die quadratische Ergänzung machen.
	$=$	$x^{2} - 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
	↓	Umformen in eine Binomische Formel .
	$=$	${(x - \frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 2$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 2^{2} + 2$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 4 + 2$
	$=$	${(x - 2)}^{2} - 2$

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 4 x + 2$
	↓	Nullstelle berechnen. Die Gleichung gleich 0 setzen.
$0$	$=$	$x^{2} - 4 x + 2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden. Dazu zuerst die Diskriminante D berechnen.
$D$	$=$	$16 - 4 \cdot 1 \cdot 2$
$D$	$=$	$16 - 8$
$D$	$=$	$8$